問題
次の各問いに答えなさい.
解説
(1) 図において, 三角形ABCの辺ABの上の2点D, Eは, $\mathrm{AD}=\mathrm{EB}$となるような点です. あの角の大きさは何度ですか.
三角形BECでは, $\angle\mathrm{EBC}=180-76-28=76^\circ$なので,
$\mathrm{BC}=\mathrm{CE}$です.
また, 三角形BDCでは,
$\angle\mathrm{DBC}=76^\circ,\ \angle\mathrm{BDC}=52^\circ$より,
$\angle\mathrm{BCD}=180-76-52=52^\circ$なので,
$\mathrm{BC}=\mathrm{BD}$です.
従って, $\mathrm{BD}=\mathrm{CE}$となります.
$\mathrm{AD}=\mathrm{EB}$より,
$\mathrm{AE}=\mathrm{AD}+\mathrm{DE}
=\mathrm{EB}+\mathrm{DE}
=\mathrm{BD}$なので,
$\mathrm{AE}=\mathrm{CE}$となります.
また,
$\angle\mathrm{AEC}=180-76=104^\circ$なので,
二等辺三角形AECより, あの角度は, $(180-104)\div2=$$38^\circ$となります.
(2) 図1と同じ形の扇形の弧の部分を5つ組み合わせて, 図2のような図形Aを作りました. 図1の扇形の半径が$cmのとき, 次の各問いに答えなさい.
① 図形Aの周りの長さは何cmですか.
5つの扇形の半径を全て描き加えると, 以下のように五芒星ができます.
五芒星の5つの先端の角の和は$180^\circ$なので,
5つの弧に対応する中心角の合計も$180^\circ$です.
従って, 図形Aの周りの長さは, $4\times2\times3.14\times\dfrac{180}{360}
=$$12.56\text{cm}$となります.
② 図3のように, 図形Aと円が点Pで触れています. 図形Aが円の周りを滑ることなく1回転すると, 丁度元の位置に戻りました. 図形Aが通った部分の面積は何$\mathrm{cm^2}$ですか.
以下のように, 図形の移動した跡を描くと,
図形Aが円の周りを滑らずに1周して元の位置に戻るので,
円の円周は図形Aの周りの長さと等しく$12.56$cmです.
従って, 円の半径は, $12.56\div3.14\div2=2$cmとなります.
また, 図形Aを作る全ての弧の半径は$4$cmなので, 図形Aが円の周りを回るとき, 円の中心から図形Aの最も外側までの長さは, $2+4=6$cmとなります.
以上より, 図形Aが通った部分は, 半径$6$cmの円から半径$2$cmの円を除いた部分なので,
$(6\times6-2\times2)\times3.14
=32\times3.14
=$$100.48\mathrm{cm^2}$となります.
