問題
図のように, 立方体ABCD-EFGHの辺BC, DH, EFの真ん中の点をそれぞれI, J, Kとします. 4点A, C, D, Jを頂点とする三角錐の体積が$36\mathrm{cm^3}$のとき, 次の各問いに答えなさい.
解説
(1) 立方体ABCD-EFGHの体積は何$\mathrm{cm^3}$ですか.
三角形ACDは正方形ABCDの半分なので, 底面積は立方体の1つの面の$\dfrac{1}{2}$です.
また, Jは辺DHの真ん中の点なので, Jから面ABCDまでの高さは立方体の1辺の$\dfrac{1}{2}$です.
従って, 三角錐ACDJの体積は立方体の体積の, $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}
=\dfrac{1}{12}$となるので,
立方体の体積は, $36\times12=$$432\mathrm{cm^3}$となります.
(2) 3点I, J, Kを通る平面でこの立方体を切り分けたとき, 頂点Aと切り口の各頂点を結んでできる立体の体積は何$\mathrm{cm^3}$ですか.
切り口を描くと, 辺HE, FB, CDの真ん中の点も通ります.
それぞれをL, M, Nとし, 切り口の中心をOとすると, 以下のようになります.
切り口の中心Oと6つの頂点を結ぶと, 切り口は同じ形の三角形6個に分かれます.
これらを底面とする三角錐は全て頂点がAで高さも等しいので, 求める立体は同じ体積の三角錐6個に分けて考えることができます.
例えば三角錐AOJLに注目して, 面ADHEを正面から見ると,
J, Lはそれぞれ辺DH, HEの真ん中の点なので, 三角形AJLの面積は面ADHEの,
$1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}
=\dfrac{3}{8}$で,
また, Oは立方体の中心なので, Oから面ADHEまでの高さは立方体の1辺の$\dfrac{1}{2}$です.
従って, 三角錐AOJLの体積は立方体の体積の, $\dfrac{3}{8}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}
=\dfrac{1}{16}$なので, $432\times\dfrac{1}{16}=27\mathrm{cm^3}$です.
求めたい立体の体積は, この三角錐が6個あるので, $27\times6=$$162\mathrm{cm^3}$となります.
