問題
各位の数の和が$10$である整数を$19$から$2026$まで並べた数の列がある.
$19,\quad 28,\quad 37,\quad \cdots,\quad 2017,\quad 2026$
次の問いに答えなさい.
解説
(1) この数の列の中に, $桁の整数は何個あるか求めなさい.
$3$桁の整数について考えます.
百の位を決めると, 残りの十の位と一の位の和が決まります.
\[
\begin{array}{c|c|c}
\text{百の位} & \text{十の位と一の位の和} & \text{個数} \\ \hline
1 & 9 & 10 \\
2 & 8 & 9 \\
3 & 7 & 8 \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
8 & 2 & 3 \\
9 & 1 & 2
\end{array}
\]
以上より, $10+9+8+\cdots+3+2=$$54\text{個}$とわかります.
(2) この数の列の中に, 全部で何個の整数が並んでいるか求めなさい.
全体を, $2$桁, $3$桁, $4$桁に分けて数えます.
$2$桁の整数は, $19,\ 28,\ 37,\ \ldots,\ 91$なので, $9\text{個}$あります.
$3$桁の整数は, (1)より$54\text{個}$です.
次に, $4$桁の整数を数えます.
$1000$から$1999$までは, 千の位が$1$なので, 残り$3$つの位の和は$9$です. 百の位を$0$から$9$まで順に決めると, $10+9+8+\cdots+2+1=55$個です.
$2000$から$2026$までは, 千の位が$2$なので, 残り$3$つの位の和は$8$で, この範囲で当てはまるものは, $2008,\ 2017,\ 2026$の$3$個です.
従って, 全部で$9+54+55+3=$$121$個とわかります.
(3) 34$はこの数の列の中で, 始めから数えて何番目か求めなさい.
まず, $2$桁と$3$桁の整数は, $9+54=63$個あります.
次に, $1000$から$1234$までの中で, 各位の数の和が$10$になるものを数えます.
$1000$から$1099$までは, 残り$3$つの位の和が$9$なので, $10\text{個}$あります.
$1100$から$1199$までは, 残りの十の位と一の位の和が$8$なので, $9\text{個}$あります.
$1200$から$1234$までは, $1207,\ 1216,\ 1225,\ 1234$の$4$個です.
よって, $1000$から$1234$までは, $10+9+4=23$個の数が並んでいるので, $1234$は始めから数えて$63+23=$$86$番目とわかります,
(4) この数の列の中に, $の倍数は何個あるか求めなさい.
$5$の倍数は, 一の位が$0$または$5$になる数なので, $2$桁では, $55$のみの$1$個です.
$3$桁では, 一の位が$0$のとき, 百の位と十の位の和は$10$なので, $9\text{個}$, 一の位が$5$のとき, 百の位と十の位の和は$5$なので, $5\text{個}$あります.
よって, $3$桁では$9+5=14$個です.
4桁では, $1000$から$1999$までは, 千の位が$1$です.
一の位が$0$のとき, 百の位と十の位の和は$9$なので, $10\text{個}$, 一の位が$5$のとき, 百の位と十の位の和は$4$なので, $5\text{個}$あります.
よって, $1000$から$1999$までは$10+5=15$個です.
$2000$から$2026$までは, 一の位が$0$または$5$で, さらに各位の数の和が$10$になるものはありません.
従って, この数列にある5の倍数は$1+14+15=$$30$個とわかります.
