問題
下の図のように, 三角形ABCの辺上に点D, E, Fがあり, ADとDBの長さの比, BEとECの長さの比, CFとFAの長さの比はそれぞれ$2:1$です. また, 三角形DEFの辺上にG, H, Iがあり, DGとGEの長さの比, EHとHFの長さの比, FIとIDの長さの比はそれぞれ$2:1$です. 次の問に答えなさい.
解説
①三角形GHIの面積は, 三角形ABCの面積の何倍になりますか.
$\triangle \mathrm{ADF}=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}\times\dfrac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AC}}=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{3}
=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{2}{9}$
同様に, 計算すると$\triangle \mathrm{BDE}$と$\triangle \mathrm{CEF}$も$\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{2}{9}$になるので,
$\triangle \mathrm{DEF}=\triangle \mathrm{ABC}-\triangle \mathrm{ADF}-\triangle \mathrm{BDE}-\triangle \mathrm{CEF}=\triangle \mathrm{ABC}\times\left(1-\dfrac{2}{9}\times3\right)
=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{1}{3}$とわかります.
また, $\triangle \mathrm{GHI}$と周囲の三角形の関係は, $\triangle \mathrm{DEF}$と周囲の三角形の関係と等しいので, $\triangle \mathrm{GHI}=\triangle \mathrm{DEF}\times\dfrac{1}{3}$とわかります.
以上より, $\triangle \mathrm{GHI}=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{1}{9}$から$\dfrac{1}{9}\text{倍}$となります.
②2点AとH, BとGをそれぞれ結び, 四角形ABGHを作ります. このとき, 四角形ABGHの面積は, 三角形ABCの面積の何倍になりますか.
以下のように補助線を加えると,
四角形ABGHの面積は, $\square\mathrm{ABGH}=\triangle \mathrm{ABE}+\triangle \mathrm{AEH}-\triangle \mathrm{BGE}-\triangle \mathrm{EGH}$と表せます.
まず, 三角形ABEは, 辺ABを底辺と見たとき, 点Eは辺BCを$2:1$に分けているので,
$\triangle \mathrm{ABE}=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BC}}=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{2}{3}$
次に, 三角形AEFを考えると, $\triangle \mathrm{AEC}=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{\mathrm{CE}}{\mathrm{CB}}
=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{1}{3}$
なので, $\triangle \mathrm{AEF}=\triangle \mathrm{AEC}\times\dfrac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AC}}
=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}
=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{1}{9}$, また, $\mathrm{EH}:\mathrm{HF}=2:1$より, $\triangle \mathrm{AEH}=\triangle \mathrm{AEF}\times\dfrac{\mathrm{EH}}{\mathrm{EF}}
=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{1}{9}\times\dfrac{2}{3}
=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{2}{27}$
続いて, 三角形BDEを考えると, $\triangle \mathrm{BDE}=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BA}}\times\dfrac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BC}}
=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}
=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{2}{9}$
より, $\triangle \mathrm{BGE}=\triangle \mathrm{BDE}\times\dfrac{\mathrm{GE}}{\mathrm{DE}}
=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{2}{9}\times\dfrac{1}{3}
=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{2}{27}$
さらに, ①より$\triangle \mathrm{DEF}=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{1}{3}$なので, $\triangle \mathrm{EGH}=\triangle \mathrm{DEF}\times\dfrac{\mathrm{EG}}{\mathrm{ED}}\times\dfrac{\mathrm{EH}}{\mathrm{EF}}=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}
=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{2}{27}$
以上から, $\square\mathrm{ABGH}
=\triangle \mathrm{ABC}\times\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{27}-\dfrac{2}{27}-\dfrac{2}{27}\right)
=\triangle \mathrm{ABC}\times\dfrac{16}{27}$
より, $\dfrac{16}{27}\text{倍}$となります.
