問題
半径1cmの円が, 次のような(ア)と(イ)のそれぞれの図形の外側を図形から離れないようにして, 図形の周りを1周します. この円の中心が動いた後の線の長さと, 円が動いた後の面積をそれぞれ求めなさい.
(ア)図1のような平行四辺形
以下のように軌跡を描き込むと,
平行四辺形の周の長さは$6\times2+4\times2=20\text{cm}$で, また, 四隅は半径$1\text{cm}$の円1つ分なので$2\times1\times3.14=6.28\text{cm}$より, 中心が動いた線の長さは$20+6.28=$$26.28\text{cm}$となります.
ここで面積を考えると, 幅$2\text{cm}$の長方形が線の長さ分あると見做せるので, $26.28\times2=$$52.56\text{cm}^2$となります.
(イ)半径4cm, 中心角^\circ$の扇形を, 図2のように2個並べた図形
(ア)同様に軌跡を描き込むと,
この線は,
- ① 半径$5\text{cm}$の四分円が$2$つ
- ② 半径$1\text{cm}$の四分円が$4$つ
- ③ 長さ$3\text{cm},\ 1\text{cm},\ 3\text{cm},\ 1\text{cm}$の直線
に分けられるので,
$5\times2\times3.14\div4\times2
+1\times2\times3.14\div4\times4
+(3+1+3+1)=15.70+6.28+8
=$$29.98\text{cm}$
となります.
ここで面積を考えると, 幅$2\text{cm}$の長方形が線の長さ分あるところから重複分(青い箇所)を引けばよいとわかるので, $29.98\times2-(1\times1-1\times1\times3.14\div4)\times2=$$59.53\text{cm}^2$となります.
