問題
下の図のような直角三角形ABCがあります. この直角三角形を, 辺ACを軸として1回転させてできる立体を立体①, 辺BCを軸として1回転させてできる立体を立体②, 辺ABを軸として1回転させてできる立体を立体③とします. 次の問に答えなさい. 但し, 円錐の体積は$\mbox{(底面積)}\times\mbox{(高さ)}\div3$で求めるものとします.
解説
(1)立体①の体積は, 立体②の体積の何倍になりますか.
立体①, ②はどちらも円錐なので, $\dfrac{3\times3\times3.14\times4\div3}{4\times4\times3.14\times3\div3}=$$\dfrac{3}{4}\text{倍}$となります.
(2)立体①の表面積は, 立体②の表面積の何倍になりますか.
立体①の表面積は,
$3\times3\times3.14+3\times5\times3.14=9\times3.14+15\times3.14=24\times3.14\text{cm}^2$
立体②の表面積は,
$4\times4\times3.14+4\times5\times3.14=16\times3.14+20\times3.14=36\times3.14\text{cm}^2$
より, $\dfrac{24\times3.14}{36\times3.14}=$$\dfrac{2}{3}\text{倍}$となります.
(3)立体①の体積は, 立体③の体積の何倍になりますか.
以下のように点Cから辺ABへの垂線を下すと,
立体③は底面が半径$3\times4\div5=\dfrac{12}{5}$cmの円を共有する2つの円錐とわかります.
ここで, 2つの円錐の高さを考えると, その合計は辺ABに等しいので, 立体①・③の割合は,
$\dfrac{3\times3\times3.14\times4\div3}{\dfrac{12}{5}\times\dfrac{12}{5}\times3.14\times5\div3}=$$1\dfrac{1}{4}\text{倍}$となります.
(4)立体①の表面積は, 立体③の表面積の何倍になりますか.
立体③の表面積は側面積だけを考えると,
$\dfrac{12}{5}\times4\times3.14+\dfrac{12}{5}\times3\times3.14=\dfrac{84}{5}\times3.14$
より, $\dfrac{24\times3.14}{\dfrac{84}{5}\times3.14}=$$1\dfrac{3}{7}\text{倍}$となります.
*全体を通して割合を求める問題なので, 3.14の計算はしないでおくのがオススメ！
