問題
早生君は夏休みの宿題で, ある長さが12cmの様々な図形を直線$\ell$上回転させることによりできる「線の長さ」や「囲まれる部分の面積」を考えてみた. 次の問に答えよ.
解説
(1)1辺が12cmの正三角形ABCを図1のように滑らないように回転させた. 点Aが初めて直線$\ell$上に戻ってくるまでに点Aが動く「線の長さ」を求めよ.
以下のように, 正三角形の軌跡を図示すると,
赤い点線の長さは, 半径12cm, 中心角120度の扇形の弧2つ分となるので, $12\times2\times3.14\times\dfrac{120}{360}\times2=$$50.24\mathrm{cm}$となります.
(2)半径が12cmで中心角が90度の扇形を図2のように滑らないように回転させた. 点Aが初めて直線$\ell$上に戻ってくるまでに点Aが動く「線の長さ」を求めよ.
(1)と同様に, 扇形の軌跡を図示すると,
赤い点線の長さは, 半径12cm, 中心角90度の扇形の弧3つ分となるので(*直線部分が四分円の弧の長さに等しいことに注意), $12\times2\times3.14\times\dfrac{90}{360}\times3=$$56.52\mathrm{cm}$となります.
(3)1辺が12cmの正方形ABCDを図3のように滑らないように回転させた. 点Aが初めて直線$\ell$上に戻ってくるまでに点Aが動く線と直線$\ell$で「囲まれる部分の面積」を求めよ. 尚, この問題は, 解答までの考え方を示す式や文章, 図などを書きなさい.
(1), (2)と同様に, 正方形の軌跡を図示すると,
求めたい面積は, 1辺12cmの直角二等辺三角形2つ分, 半径12cm, 中心角90度の扇形2つ分, 正方形の対角線を半径とする中心角90度の扇形(*半径の長さは算数では求められないが, 半径$\times$半径の値はわかることに注意)の合計であるので, $12\times12\times\dfrac{1}{2}\times2+12\times12\times3.14\times\dfrac{90}{360}\times2+288\times3.14\times\dfrac{90}{360}=$$596.16\mathrm{cm}^{2}$となります.
