問題
2桁の整数$AB$同士を掛けたときの筆算は次のようになりました. 2桁の整数$AB$はいくつですか. 但し, $A, B, C, D, E, F$は異なる1桁の整数を表すものとします.
$\begin{array}{cccc}
& A & B \\
\times & A & B \\
\hline
& C & D \\
E & C & \\
\hline
F & A & D
\end{array}$
解説
- $AB\times B=10\times C+D$
- $AB\times A=10\times E+C$
より, 両者はいずれも2桁の数なので, $A$は3以下であることがわかります.($A=4$だと最低でも160より大きくなることに注意！)
① $A=3$ のとき
$90+3\times B$が100より小さくなるため, $B$は3以下となり, $A=3$なので, $B$の候補は1, 2となります.
② $A=2$ のとき
①と同様に考えると, $B$の候補は1, 3となります.
以上の候補から, 以下の3式を満たす$AB$の組を考えると,
$AB\times B=10\times C+D$
$AB\times A=10\times E+C$
$(10\times A+B)\times(10\times A+B)=100\times F+10\times A+D$
$A=2,\ B=3$のときだけであることが分かります(このとき, $C=6,D=9,E=4,F=5$ となり, 6つの数字は全て異なります).
以上より, 求める2桁の整数 $AB$ は $23$ となります.
