問題-前半
【図1】の四角形ABCDは1辺の長さが$5\text{cm}$の菱形で, 対角線の長さは$\mathrm{AC}=8\text{cm}$, $\mathrm{BD}=6\text{cm}$である.
解説
(1) $\boxed{\text{ア}}$にあてはまる数を求めよ.
菱形の対角線は垂直且つそれぞれの中点で交わるので, 対角線の半分の長さはそれぞれ, $8\div2=4\text{cm}$, $6\div2=3\text{cm}$となります.
ここで, 三角形BCDの面積を2通りに表すと,
- 底辺をBCとすると, $5\times \boxed{\text{ア}} \div2$
- 底辺をBDとすると, $6\times4\div2=12\text{cm}^2$
これらは等しいので,
$5\times \boxed{\text{ア}} \div2=12$
$5\times \boxed{\text{ア}}=24$
$\boxed{\text{ア}}=$$4.8\text{cm}$となります.
問題-後半
【図2】の四角形EFGHは$\mathrm{EF}=30\text{cm}$, $\mathrm{EH}=50\text{cm}$の長方形である. 四角形EFGHの内部に図のようにEF, GHを半径とする扇形を描き, さらにFGを直径とする半円を描く. そのときにできた交点を図のようにI, Jとするとき, 次の各問に答えよ.
解説
(2) 線分IJの長さを求めよ.
以下のように補助線を引いて相似形を考えると,
三角形FIGと三角形FKIは共に相似比が$3:4:5$の直角三角形とわかるので(何故直角三角形になるかは恐らく(1)を利用する?知識として持っているならそれでもOK), $\mathrm{FK}=30\times\dfrac{3}{5}=18$cmより, $\mathrm{IJ}=50-18\times2=$$14\text{cm}$となります.(弧の長さでないことに注意！)
(3) 台形FIJGの面積を求めよ.
(2)より$\mathrm{IJ}=14\text{cm}$, $\mathrm{IK}=24\text{cm}$より, 台形の面積は$(14+50)\times24\div2=$$768\text{cm}^2$となります.
