問題
次のように, ある決まりに従って数が並んでいます. このとき, 次の各問いに答えなさい.
\[
1,\quad 1,\quad \dfrac{7}{9},\quad \dfrac{5}{8},\quad
\dfrac{13}{25},\quad \dfrac{4}{9},\quad \dfrac{19}{49},\quad \cdots
\]
解説
(1) 初めから数えて10番目の数は何ですか.
それぞれの数を約分する前の形で考えると,
\[
\dfrac{1}{1},\quad
\dfrac{4}{4},\quad
\dfrac{7}{9},\quad
\dfrac{10}{16},\quad
\dfrac{13}{25},\quad
\dfrac{16}{36},\quad
\dfrac{19}{49},\quad\cdots
\]
となり, 分子は初項が$1$で公差が3の等差数列, 分母は$1\times1,2\times2,3\times3,\cdots$と並んでいます.
従って, 10番目の数は, $\dfrac{1+3\times9}{10\times10}
=\dfrac{28}{100}
=$$\dfrac{7}{25}$となります.
(2) 分母と分子の差が初めて1000より大きくなるのは, 初めから数えて何番目の数ですか.
$31\times31=961,\ 32\times32=1024$より, 約分する前の分母が1000を超えるのは, $32\times32=1024$で32番目なので, それ以降を調べればよいとわかります.
32番目では, $\dfrac{94}{1024}=\dfrac{47}{512}$と約分されるので, 分母と分子の差は, $512-47=465$です.
33番目では, $\dfrac{97}{1089}$なので, 分母と分子の差は, $1089-97=992$です.
34番目では, $\dfrac{100}{1156}=\dfrac{25}{289}$と約分されるので, 分母と分子の差は, $289-25=264$です.
35番目では, $\dfrac{103}{1225}$なので, 分母と分子の差は, $1225-103=1122$となります.
従って, 初めて1000より大きくなるのは, 35番目となります.
(3) $\dfrac{1}{7}$より大きい数はいくつありますか.
この数列の規則を考えると, $\square$番目の数は, 約分する前の形で
$\dfrac{1+3\times(\square-1)}{\square\times\square}$と書けます.
この値が$\dfrac{1}{7}$より大きくなるには, $\dfrac{3\times\square-2}{\square\times\square}>\dfrac{1}{7}$より, $7\times(3\times\square-2)>\square\times\square$となればよいです.
これを整理すると, $\square\times(21-\square)>14$となり,
$\square=1$から$20$までは, $\square$と$21-\square$は和が$21$となる正の整数なので,
その積は最も小さいときでも$1\times20=20$となり, $14$より大きくなります.
一方, $\square=21$以降では$21-\square$が$0$以下になるので, 条件を満たしません.
従って, $\dfrac{1}{7}$より大きい数は20個となります.
※勿論, 2次不等式$n^2-21n+14<0$を解いてもOKです.
