問題
ある学年の生徒を対象に, 1問1点で10問のテストを行った. 次の表のように, テストの得点に応じて評価をつけ, 評価A, Bを合格, 評価Cを不合格とした. ？となっている部分の人数は不明である. さらに, 以下の情報ア〜ウがわかっている.
- 情報ア：評価Aの生徒の平均点は, 評価Cの生徒の平均点より6.6点高い.
- 情報イ：合格者の平均点は6.4点であるが, 得点が4点の生徒も不合格に含めると, 合格者の平均点は6.8点になる.
- 情報ウ：評価Bの生徒の中では, 各得点における人数の差が最大でも5人である.
次の問いに答えよ.
解説
(1) 評価Aの生徒の平均点を求めよ.
$(8\times10+9\times8+10\times2)\div(10+8+2)=$$8.6\mbox{点}$
(2) 得点が3点の生徒の人数は何人か求めよ.
情報アより, 評価Cの生徒の平均点は$8.6-6.6=2$点とわかり, 0点の生徒は$2\times2=4$点, 1点の生徒は$1\times3=3$点分, 平均点より低いので, これを3点の生徒で補うと考えると, $(3-2)\times\mbox{?}=4+3$から, 7人となります.
(3) 評価Aの生徒と評価Bの生徒の人数の合計を□人とすることにより, 下のような面積図を考えた. 長方形☆の部分を表す数を求めよ.
4点の生徒は10人なので, 合格を5点以上とすると, $4\times10=40$点分が減少します.
また, 面積図より10人減ったことで$6.4\times10-40=24$点分の浮きが発生し, これが☆の面積と等しいので, 24とわかります.
(4) この学年の生徒の人数は何人か求めよ.
(3)より☆の面積が24と分かったので, 合格者(5点以上)の人数は$24\div(6.8-6.4)=60$人, 合計の生徒数は, $2+3+4+7+10+60=$$86\mbox{人}$となります.
(5) 得点が7点の生徒の人数は何人か求めよ.
5〜7点の生徒を考えると, 合計の人数は40人, 点数は$6.8\times60-172=236$点で, また情報ウから, それぞれの人数は10人以上15人以下とわかります.
*一箇所でも9人がいたら, 最大でも$9+15+15=39$人になってしまうため.
以上より, 各点数10人分を減らして考えると, $236-18\times10=56$点を$40-10\times3=10$人で作ればよいので, それぞれの人数を$x,y,z$として立式すると,
$\begin{cases}
x+y+z=10\\
5\times x+6\times y+7\times z=56
\end{cases}$
上の式を5倍して,
$\begin{cases}
5\times x+5\times y+5\times z=50\\
5\times x+6\times y+7\times z=56
\end{cases}$
2式を引き算すると, $y+2\times z=6$
ここで, 考えられる$(y,z)$の組は, $(0,3),(2,2),(4,1)$とありますが, $x$が5以下(合計で15人以下)になる組は, $(4,1)$のみなので, $(x,y,z)$の組は$(1,4,1)$となり, 7点の生徒は$10+1=$$11\mbox{人}$とわかります.
