問題
1000から9999までの4桁の全ての整数において, 千の位の数と百の位の数の積を足した数を作ります. 例えば, 1234から作られる数は$1\times2+3\times4$で14になり, 2021から作られる数は$2\times0+2\times1$で2になります. 1000から順番にこのような数を作っていき, 作られた順にこれらの数を左から1列に並べました. 並べられた数について, 次の問に答えなさい.
解説
(1)最も大きい数はいくつですか.
千の位と百の位の積, 十の位と一の位の積は, どちらも最大で$9\times9=81$なので, 最も大きい数は$81+81=$$162$となります.
(2)初めて10が出てくるのは, 左から何番目ですか.
$1000$から$1099$まででは, 千の位と百の位の積は常に$1\times0=0$より, 作られる数は下$2$桁の積に等しいので, 最初に10となるのは, $2\times5$より1025で, これは$26\text{番目}$になります.(スタートが1000であることに注意！)
(3)1は全部で何個ありますか.
積の合計が1となるには, どちらかの積が0でもう一方が1となるので, 以下のように場合分けを考えると,
- ①千の位と百の位の積が0の場合
- 百の位は0, 十の位と一の位は1で確定→千の位は1〜9の9通り
- ②十の位と一の位の積が0の場合
- 千の位と百の位は1で確定→十の位が0なら一の位は0〜9の10通り, 一の位が0の場合も同様に10通りで, 重複分(00の場合)を除くと$10+10-1=19$通り
より, $9+19=$$28\text{個}$となります.
(4)100は全部で何個ありますか.
2つの積の合計が100になる, 且つ, そのどちらもが九九にあるという条件で探すと, (81, 19), $(72, 28)$, $(64, 36)$, (63, 37), (56, 44), (54, 46)より2組を調べればよいとわかります.(順序を考慮すると4組あることに注意！)
- ①$(72, 28)$の場合→89と47のペアがそれぞれ2組できるので, $2\times2\times2=8$通り
- ②$(64, 36)$の場合→88と49で$1\times2\times2=4$通り, 88と66で$1\times1\times2=2$通りできるので併せて6通り
以上より, 100となる組は$8+6=$$14\text{個}$となります.
