問題
【図1】のように, 1辺の長さが1cmの正方形①の上に, 1辺の長さが1cmの正方形②を描いて, 2辺の長さが1cm, 2cmの長方形をつくる. 次に, 【図2】のように, 【図1】の長方形の長い方の辺を1辺とする正方形③を, その長方形の右に描いて, 2辺の長さが2cm, 3cmの長方形をつくる. 次に, 【図3】のように, 正方形④を, 【図2】の長方形の下に描いて, 2辺の長さが3cm, 5cmの長方形をつくる. さらに, 【図4】のように, 正方形⑤を, 【図3】の長方形の左に描いて, 2辺の長さが5cm, 8cmの長方形をつくる.
このように, 長方形の長い方の辺を1辺とする正方形⑥, 正方形⑦, 正方形⑧, …を, それぞれ長方形の上, 右, 下, 左, …と, 時計回りになるように描いて長方形を順につくっていく. このとき, 次の問いに答えなさい.
解説
(1)下の表は, 上の規則に従って長方形をつくったときの, 正方形の番号, 正方形の1辺の長さと長方形の面積についてまとめたものである. この表の(ア), (イ)にあてはまる数を書きなさい.
正方形の1辺を順に書き出すと, 1→1→$(1+1=)2$→$(1+2=)3$→$(2+3=)5$→$(3+5=)8$→$(5+8=)13$→$(8+13=)21$→$(13+21=)34\cdots$と続くので, (ア)＝13となります.(このような数列をフィボナッチ数列といいます)
また, 長方形の面積は, 正方形番号が奇数の場合, 縦がその正方形の1辺, 横がその正方形と一つ前の正方形の1辺の和になるので, $34\times(34+21)=1870$より, (イ)＝1870となります.
(2)正方形⑮まで描いてできる長方形の長い方の辺の長さを求めなさい.
このときの長方形の長辺は, 15番目の正方形と14番目の正方形の1辺の和になるので, ⑩以降も計算すると, $(21+34=)55$→$(34+55=)89$→$(55+89=)144$→$(89+144=)233$→$(144+233=)377$→$(233+377=)610\cdots$から$377+610=$$987\mathrm{cm}$となります.
(3)【図5】のように, 正方形⑦まで描いて長方形をつくる. 次に, それぞれの正方形の1辺を半径とするおうぎ形の弧をつないで曲線をつくる. このとき, その曲線の長さを求めなさい.
いずれも四分円(中心角90度の扇形)であるので, $1\times2\times3.14\times\dfrac{1}{4}+1\times2\times3.14\times\dfrac{1}{4}+2\times2\times3.14\times\dfrac{1}{4}+3\times2\times3.14\times\dfrac{1}{4}+5\times2\times3.14\times\dfrac{1}{4}+8\times2\times3.14\times\dfrac{1}{4}+13\times2\times3.14\times\dfrac{1}{4}=(1+1+2+3+5+8+13)\times2\times3.14\times\dfrac{1}{4}=$$51.81\mathrm{cm}$となります.
