問題
太郎君と先生は「等間隔にある点を頂点とする多角形の面積を求める方法」について話をしている.
- 先生：1マス1cmの方眼紙に描かれた【図1】の図形の面積を求めてみましょう.
- 太郎：これは簡単ですよ！ $5 \times 4 \div 2 = 10$ だから 10cm${}^2$ が答えですね！
- 先生：その通りです. 三角形の面積を求める公式（底辺）×（高さ）÷2 を使えば簡単ですね. では【図2】の図形の面積はどうでしょう.
- 太郎：これは大変そう…….
- 先生：地道に求めると大変なので, 『ピックの定理』を教えましょう.
ピックの定理
頂点が全て格子点上にある多角形の面積は, 内部の格子点の数と, 辺上の格子点の数によって, 以下の計算で求めることができる.
$\text{（面積）} = \text{（内部の格子点の数）} + \text{（辺上の格子点の数）} \div 2 – 1$
- 先生：格子点とはここで言う1cm間隔の点のことを指しています.【図1】の図形を利用して成り立つかどうか確かめてみましょう.
- 太郎：内部の格子点の数が7で, 辺上の格子点の数が8だから…….同じ答えが出てきました！
- 先生：それでは, ピックの定理を用いて【図2】の図形の面積を求めてみましょう.
解説
(1) 1マス1cmの方眼紙に描かれた【図2】の図形の面積を求めなさい.
格子点の数を数えると内部に13個, 辺上に12個あるので, ピックの定理を用いると, $13+12\div2-1=$$18\mathrm{cm}^{2}$となります.
- 太郎：知ってるだけでこんなに早く解けてしまうんですね！
- 先生：その通りです. しかし, 知っているだけではダメです. きちんと活用できるようになりましょうね.
- 太郎：頑張ります！
- 先生：それでは, (2)の問題を解いてみましょう.
(2) 同じ方眼紙に4つの点A, B, C, Dがあり, 【図3】のように直線で結ばれている. 五角形ABCDEの面積が22cm${}^2$となるような点Eの場所を見つけ, その格子点を○で囲みなさい. ただし, 解答用紙に書かれていない格子点は考えないものとする.
まずは図形を四角形ABCDと三角形AEDに分けて考えると, 四角形の方の面積は$13+7\div2-1=15.5\mathrm{cm}^{2}$となり, 三角形の面積は6.5cm$^{2}$であるとわかります.
ここで, Aの垂線とDの水平線の交点を取り三角形(青い点線の箇所)を作ると, 面積は$3\times4\div2=6\mathrm{cm}^{2}$となるので, その近くで, 面積が6.5cm$^{2}$になる箇所がないか調べると,
上記のようにEを取れば, 三角形の面積が$6+3\div2-1=6.5$cm$^{2}$となるので, Eの位置が定まります.
