問題
太郎君と花子さんと先生は「ある整数が3の倍数であるかを判定する方法」について話をしている.
先生：3桁の整数 852 は 3 の倍数ですか?
太郎：$852\div3 = 284$ で余りがないので 3 の倍数です.
花子：もっと簡単な方法を知っているよ. $8 + 5 + 2 = 15 $で、15 が 3 の倍数だから、852 も 3 の倍数だよ.
太郎：どうして各位の数を足して 3 の倍数だと, その整数は 3 の倍数なの?
花子：う～ん, そうすれば求められると教わったの.
先生：算数でもどの教科でも「なぜ」を考えることはとても大切ですね. 中学校に入学したら算数は数学になり, 3桁の整数だけでなく全ての整数で, 花子さんが話してくれた法則が成り立つことを説明できるようになります.
花子：わかりました。なぜ3桁の数について各位の数を足して3の倍数だと, その整数が3の倍数になるのか考えてみます. 例えば852を考えると….(以下略)
解説
(1)910以上920以下の整数で3の倍数を全て答えよ.
各桁の和を考えると, 910は10, 911は11, 912は12で, まずは912が3の倍数であるとわかります.
また, 以降プラス3ずつしていけばよいので, 915, 918も3の倍数となり, 912, 915, 918となります.
(2)花子さんが考えたことについて, 以下の空欄に当てはまる言葉や数字・式を答えよ. 但し, ア・ウは数字, イ・エ・オは式, 力は共通する言葉, キは文章が入る.
$852 = 800 + 50 + 2$ のように, 各桁ごとに分解してみる. $10 = 3\times3+1$, $100 = 3\times33+1$ なので,
$\begin{aligned}
852 &= 800 + 50 + 2 \\
&= 8 \times 100 + 5 \times 10 + 2 \\
&= \fbox{ア} \times (\fbox{ イ }) + \fbox{ウ} \times (\fbox{ エ }) + 2 \\
&= 3 \times (\fbox{ オ }) + 8 + 5 + 2
\end{aligned}$各位の数の和である $8+5+2=15$ だから $\fbox{ 力 }$ で, $\fbox{ 力 }$ 同士の和は $\fbox{ 力 }$ なので, 852は $\fbox{ 力 }$ である. 逆に, 各位の数の和が $\fbox{ 力 }$ でなければ, 全体として$\fbox{ 力 }$ ではない. つまり,$ \fbox{ キ }$ である.
誘導に従って埋めていくと,
$\begin{aligned}
852 &= 800 + 50 + 2 \\
&= 8 \times 100 + 5 \times 10 + 2 \\
&= 8 \times (3\times33+1) + 5 \times (3\times3+1) + 2 \\
&= 3 \times (8\times33+5\times3) + 8 + 5 + 2
\end{aligned}$
各位の数の和である $8+5+2=15$ だから 3の倍数 で, 3の倍数 同士の和は 3の倍数 なので, 852は 3の倍数 である. 逆に, 各位の数の和が 3の倍数 でなければ, 全体として 3の倍数 ではない. つまり, 各位の数を足して3の倍数だと, (桁数によらず,) その整数が3の倍数 である.
のようになります.
(3)太郎君は9の倍数についても同じような方法で判断できることを思いついた. なぜ, 各位の数を足して9の倍数だとその整数が9の倍数になるのかを, 3けたの9の倍数をひとつ提示し, 花子さんが考えたことを利用して説明せよ.
(2)を利用すると以下のようになります.
$126 = 100 + 20 + 6$ のように, 各桁ごとに分解してみる. $10 = 9\times1+1$, $100 = 9\times11+1$ なので,
$\begin{aligned}
126 &= 100 + 20 + 6 \\
&= 1 \times 100 + 2 \times 10 + 6 \\
&= 1 \times (9\times11+1) + 2 \times (9\times1+1) + 6 \\
&= 9 \times (1\times11+2\times1) + 1 + 2 + 6
\end{aligned}$
各位の数の和である $1+2+6=9$ だから 9の倍数 で, 9の倍数 同士の和は 9の倍数 なので, 126は 9の倍数 である. 逆に, 各位の数の和が 9の倍数 でなければ, 全体として 9の倍数 ではない. つまり, 各位の数を足して9の倍数だと, (桁数によらず,) その整数が9の倍数 である.
