問題
早夫君は信号に影響のない歩道を歩いていると, 車道を自転車で運転している稲子さんを見かけた. 信号①が青に変わり, 停止線で止まっていた稲子さんの自転車が出発すると, 早夫君も同時にその場所を通過した. 稲子さんの自転車は速さを増して早夫君から遠ざかっていったが, 交差点で信号が赤に変わるたびに止まるため, 先の信号で何回か早夫君は稲子さんの自転車に追いつくことができた. ただし, 歩道と車道は一直線であるものとし, 互いに平行であるものとする.
早夫君は信号のない歩道を時速5.4kmで, 常に同じ速さで歩く. また, 稲子さんはどの信号でも青に変わると同時に動き始め, だんだん速くなり時速18kmになると同じ速さで進む. 同じ速さになるまでにかかる時間と, 同じ速さから停止するまでにかかる時間は常に同じで, それぞれ10秒かかる.
【図1】は早夫君が信号①を通過してからの, 「時間（秒）」と「進んだ距離（m）」の関係を表すグラフである. また, 【図2】は稲子さんが信号①を出発してから信号⑥の停止線に到着するまでの, 「時間（秒）」と「速さ（m/秒）」の関係を表すグラフである.
また, 時間と速さの関係を表す表には次のような特徴がある.
次の問に答えよ.
解説
(1)【図1】, 【図2】中にある$\fbox{ア}$, $\fbox{イ}$に当てはまる数を求めよ.
$\fbox{ア}$は早夫君が180秒で進んだ距離を求めればよいので, $\dfrac{5.4\times1000}{3600}\times180=$$270\mbox{(m)}$となります.
また, $\fbox{イ}$は稲子さんが最高速度になったときの秒速を求めればよいので, $\dfrac{18\times1000}{3600}=$$5\mbox{(m/秒)}$となります.
(2)信号②から信号③までの距離は何mあるか求めよ.
【図2】より稲子さんが信号②に到着したのは80秒後, ③に到着したのは115秒後とわかり, 加速・減速時間はそれぞれ10秒間なので, 速さと時間の関係より, 求めたい距離は台形の面積と同じと考えられます.
以上より, 信号②〜③の距離は, $(35-10\times2+35)\times5\div2=$$125\mbox{m}$となります.
(3)2人が同時に信号①を出発してから200秒経ったとき, どちらが何m先の位置にいるか求めよ.
【図1】から早夫君は200秒で, $1.5\times200=300$m, また, 【図2】から稲子さんは200秒で, 台形3つ分の距離, $(10+30)\times5\div2+125+(20+40)\times5\div2=375$m進むことがわかります.
以上より, 2人の位置関係を考えると, 稲子さんが75m先の位置にいることになります.
(4)2人が同時に信号①を出発してから稲子さんが信号⑤に到着するまでに, 早夫君が稲子さんに追いついたのは何回か求めよ. 必要ならば次の図を使用してもよい.
早夫君が稲子さんに追いつく場所を考えると, 稲子さんが信号に捕まっているところとわかるので, 信号②〜④の動き出しのタイミングを調べればよいとわかります.(具体的な時間ではなくて回数を聞かれているので, キリのよいタイミングでの位置関係を調べる方が計算が少なくて済みます)
- 信号②; 稲子さんは100m, 早夫君は$1.5\times80=120$m進むので, 追い越しが発生.
- 信号③; 稲子さんは225m, 早夫君は$1.5\times160=240$m進むので, 追い越しが発生.
- 信号④; 稲子さんは375m, 早夫君は$1.5\times240=360$m進むので, 追い越しは発生しない.
以上より, 2回とわかります.
(5)信号⑥の停止線には早夫君と稲子さんが同時に到着した. 【図2】中にある$\fbox{ウ}$に当てはまる数を求めよ.
信号⑥までの時間は2人も380秒かかったということなので, 信号①〜⑥までの距離は$1.5\times380=570$mとわかります.
ここで, 信号④〜⑤までの距離は4つ目の台形の面積と等しく, $(10+30)\times5\div2=100$mなので, 信号⑤〜⑥までの距離は$570-(375+100)=95$mとわかります.
以上より, 5つめの台形の面積を$\fbox{ウ}$を用いて表すと,
$\{(380-\fbox{ウ}-20)+(380-\fbox{ウ})\}\times5\div2=90$
$(740-2\times\fbox{ウ})\times5\div2=95$
$740-2\times\fbox{ウ}=95\times2\div5=38$
$\fbox{ウ}=$$351$(秒)
となります.
