問題
数学の未解決問題のひとつに, コラッツ予想というものがある. コラッツ予想とは, ドイツの数学者ローター・コラッツ（1910〜1990）が1937年に提示した問題で, 現在に至るまで未解決のまま, 100万ドルの懸賞金がかけられている.
コラッツ予想,
2以上のどんな整数でも
- Aその整数が偶数の場合は2で割る
- Bその整数が奇数の場合は3倍して1を足す
という操作をくり返すと, 最後は必ず1になる.
現在, コンピューターを使った計算によって, 2を68回かけた数までの整数が全て1になることが確認されている.
- ＜例1＞ 5→16→8→4→2→1（5回の操作で1になる）
- ＜例2＞ 6→3→10→5→16→8→4→2→1（8回の操作で1になる）
解説
(ア) 11は, 何回の操作で1になるか答えなさい.
定義に従って計算すると
11→$11\times3+1=34$→$34\div2=17$→$17\times3+1=52$→$52\div2=26$→$26\div2=13$→$13\times3+1=40$→$40\div2=20$→$20\div2=10$→$10\div2=5$→$5\times3+1=16$→$16\div2=8$→$8\div2=4$→$4\div2=2$→$2\div2=1$より14回の操作で1になります.
(イ) 7回の操作で1となる整数をすべて求めなさい.
定義に従って逆算を行うと, 1→$1\times2=2$→$2\times2=4$→$4\times2=8$→$8\times2=16$までの4回は共通で, 以降は場合分けが必要となります.(16が3の倍数に1を加えた数であることに注意)
- 5回目の数字が偶数の場合; $16\times2=32$→$32\times2=64$までの2回は共通で, 7回目は$64\times2=128$か$(64-1)\div3=21$のいずれかになります.
- 5回目の数字が奇数の場合; $(16-1)\div3=5$→$5\times2=10$までの2回は共通で, 7回目は$10\times2=2-$か$(10-1)\div3=3$のいずれかになります.
以上より, 求める整数は3, 20, 21, 128となります.
