【中学受験算数】整数と十進法｜位取りと整数の仕組みを基礎から理解しよう

整数はどのように表されているのか

算数では、毎日のように数を使います。

「クラスに36人いる」「本が248ページある」「テストで100点を取った」など、ものの個数や順番、大きさを表すときに数は欠かせません。

ところで、私たちは36や248という数を当たり前のように書いていますが、よく見ると、使っている記号はそれほど多くありません。

私たちが数を書くときに使っているのは、

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9

という10種類の数字だけです。

この10種類を組み合わせることで、10より大きな数も、1000や10000のような大きな数も表すことができます。

まずは、その仕組みから見ていきましょう。

身の回りにはさまざまな整数がある

0、1、2、3、……のように、小数や分数を使わずに表される数を整数といいます。(テキストや参考書では自然数と書いてあるものもあり、厳密に整数というと負の数を含める形になります)

たとえば、

• りんごが8個ある
• 教室に32人いる
• 図書館に1250冊の本がある

というときの8、32、1250はいずれも整数です。

ものが一つもないときに使う0も整数に含まれます。

中学受験算数では、この整数を使って計算するだけでなく、整数そのものの仕組みを利用する問題も数多く出てきます。

そのため、「計算できる」だけでなく、数がどのようにできているのかを理解しておくことが大切です。

「数」と「数字」は同じものではない

普段の会話ではほとんど区別しませんが、算数では数と数字は少し違います。

たとえば、

352

という数を考えてみましょう。

352は一つの数です。

一方、この数を書くために使われている

3、5、2

は、それぞれ数字です。

つまり、数字とは数を表すための記号です。

私たちは0から9までの10種類の数字を並べることで、さまざまな数を表しています。

同じ数字でも、置かれる場所によって表す大きさは変わります。

たとえば、次の3つを比べてみましょう。

3　　30　　300

どれにも「3」という数字が使われています。しかし、それぞれ表している数の大きさは異なります。

3では3を表し、30では30を表し、300では300を表しています。

なぜ同じ数字なのに大きさが変わるのでしょうか。

その理由は、数字がどの位置に置かれているかにあります。この仕組みを、このあと「位」という考え方を使って詳しく見ていきます。

0も整数を表す大切な数字

0を見ると、「何もないことを表す数字」と考えるかもしれません。

もちろん、ものが一つもないときに0を使います。しかし、大きな数を書くときには、それとは別の重要な役割があります。

たとえば、

305

と

35

を比べてみましょう。

305では、3と5の間に0があります。この0を取り除いて35にすると、まったく別の数になってしまいます。

305の0は、「ここには数がない」ということを示しながら、3と5が置かれる位置を保っています。

同じことは、

4002

のような数でもいえます。

0そのものは何個あるかを表していなくても、0があることで他の数字がどの大きさを表しているのかが決まります。

この0の働きを理解するためにも、次に学ぶ十進法と位の仕組みが重要になります。

10個集まると一つ上の位になる

整数は、0から9までの10種類の数字を使って表します。

では、9の次の数である10は、どのようにできているのでしょうか。

ここには、整数を表すうえで最も基本的な仕組みがあります。

同じ大きさのものが10個集まると、一つ上のまとまりとして表す。

これを繰り返すことで、10、100、1000、その先の大きな数まで表すことができます。

1が10個集まると10になる

1を一つずつ数えていくと、

1、2、3、4、5、6、7、8、9

と進みます。

そして、1が10個集まると、

10

になります。

この10は、

1が10個

という意味でもありますが、整数の表し方では、これを

10が1個

という新しいまとまりとして考えます。

たとえば、1円玉が10枚あれば10円です。これを10円玉1枚に取りかえるようなイメージです。

1を10個のまま数え続けるのではなく、10個たまったところで一つ大きなまとまりにする。この考え方が、整数の表し方の土台になっています。

10が10個集まると100になる

今度は、10というまとまりを10個集めてみます。

$10\times10=100$

なので、10が10個集まると100になります。

つまり、

1が10個で10
10が10個で100

となります。

さらに、100が10個集まると、

$100\times10=1000$

です。

この関係を並べると、

まとまり	10個集まると
1	10
10	100
100	1000
1000	10000

となります。

一つ上のまとまりは、その一つ下のまとまりの10個分になっていることが分かります。

一つ上の位は10倍の大きさになる

この関係を、大きさの変化として見ることもできます。

1 → 10 → 100 → 1000

と進むたびに、数は10倍になっています。

つまり、一つ上のまとまりへ進むと、大きさは10倍になります。

たとえば、

4、40、400

を比べてみましょう。

使われている数字はどれも4ですが、

• 4は4を表す
• 40は4が10個分
• 400は4が100個分

となっています。

同じ数字でも、どのまとまりの場所に置かれているかによって、表す大きさが変わるわけです。

この「どの場所に置かれているか」を表す考え方が、次に学ぶ位です。

十進法とは何か

ここまで見てきたように、私たちが普段使っている整数では、

10個集まると一つ上のまとまりにする

という仕組みが使われています。

このように、10を一つのまとまりとして数を表す方法を十進法といいます。

「十進法」という言葉だけを見ると難しそうですが、考え方は単純です。

1を10個集めて10、10を10個集めて100、100を10個集めて1000とする仕組みです。

私たちが普段数を書くときには、この十進法をほとんど意識せずに使っています。

しかし、中学受験算数では、この仕組みを理解しているかどうかが、後の整数、小数、計算の工夫などにも関わってきます。

「10個で一つ上へ」を意識しよう

整数を見るときには、数字だけを見るのではなく、

10個たまると一つ上へ進む

という関係を意識してみましょう。

たとえば100は、ただ「1の後ろに0が2個ついた数」ではありません。

100は、

10が10個集まった数

であり、さらに考えれば、

1が100個集まった数

です。

このまとまり方が分かると、数の並び方や位の意味も理解しやすくなります。

次は、数字が置かれる場所によって大きさが決まる位取りの仕組みを見ていきます。

位取りの仕組みを理解しよう

十進法では、同じ大きさのものが10個集まると、一つ上のまとまりになります。

そのまとまりを、数字を書く位置によって表しているのが位取りです。

たとえば、352という数では、3、5、2という3つの数字が使われています。

しかし、3は3を、5は5を、2は2をそのまま表しているわけではありません。

それぞれの数字がどの位置に置かれているかによって、表す大きさが決まります。

一の位・十の位・百の位・千の位

整数では、右端から順に、

• 一の位
• 十の位
• 百の位
• 千の位

と名前がついています。

たとえば、

4728

という数を位ごとに見ると、次のようになります。

千の位	百の位	十の位	一の位
4	7	2	8

それぞれの数字が表している大きさは、

• 4は4000
• 7は700
• 2は20
• 8は8

です。

したがって、4728は、

$4000+700+20+8$

と考えることができます。

数字そのものだけを見るのではなく、どの位に置かれている数字なのかを見ることが大切です。

同じ数字でも置かれた場所で大きさが変わる

次の3つの数を比べてみましょう。

5　　50　　500

どの数にも、数字の5が使われています。

しかし、5が置かれている位はそれぞれ違います。

• 5では、一の位の5なので5
• 50では、十の位の5なので50
• 500では、百の位の5なので500

となります。

十の位は一の位の10倍、百の位は十の位の10倍なので、数字が一つ左の位へ移るたびに、表す大きさも10倍になります。

たとえば、数そのものを比べると、

$5\times10=50$
$50\times10=500$

です。

これは、前の節で学んだ「10個集まると一つ上の位になる」という十進法の仕組みと同じです。

位と数字を区別して考えよう

問題では、位とその位の数字を区別して答える必要があります。

たとえば、

6384

について考えてみましょう。

「百の位は何ですか」と聞かれたら、百の位にある数字は3なので、答えは3です。

一方で、「百の位の3が表す大きさは何ですか」と聞かれたら、答えは300です。

同じ3について尋ねていても、

• その位にある数字を答えるのか
• その数字が表す大きさを答えるのか

によって答えが変わります。

中学受験の整数問題では、この違いを正確に読み取ることが必要です。

整数を位ごとに分けて考える

位取りを理解すると、一つの整数をいくつかのまとまりに分けて見ることができます。

たとえば、

5836

なら、

$5000+800+30+6$

です。

これは、

• 1000が5個
• 100が8個
• 10が3個
• 1が6個

集まって5836ができている、と考えていることになります。

式で書けば、

$5836=5\times1000+8\times100+3\times10+6$

です。

この見方は、整数の仕組みを確認するだけのものではありません。

後で計算の工夫を学ぶときにも、数をまとまりに分けて考えることがあります。

そのため、今の段階から「一つの数を位ごとに分けて見る」ことに慣れておきましょう。

逆に、位ごとのまとまりから整数を作る

数を分けるだけでなく、位ごとのまとまりから元の整数を作ることもできます。

たとえば、

• 1000が6個
• 100が2個
• 10が4個
• 1が7個

あるとします。

それぞれの大きさを計算すると、

$6000+200+40+7$

なので、できる整数は、

6247

です。

位取りとは、数字を並べるためだけの決まりではありません。

それぞれの位置にある数字が、どれだけの大きさを表しているかを決める仕組みです。

この仕組みが分かると、途中に0が入る整数についても正しく考えられるようになります。

次は、405や5002のような数に入っている0の役割を詳しく見ていきます。

0にはどんな役割があるのか

0は「何もないことを表す数字」と説明されることがあります。

もちろん、それは0の大切な意味の一つです。

しかし、整数を数字で表すときには、0にはもう一つ重要な役割があります。

それは、その位には何もないことを示し、ほかの数字の位置を正しく保つことです。

位取りを理解するうえでは、この0の働きを知っておく必要があります。

305と35は何が違うのか

まず、次の2つの数を比べてみましょう。

305　　35

305を位ごとに見ると、

百の位	十の位	一の位
3	0	5

となります。

つまり305は、

$3\times100+0\times10+5$

なので、

$300+5=305$

です。

一方、35は、

十の位	一の位
3	5

なので、

$3\times10+5=35$

となります。

305では3が百の位にありますが、35では3が十の位にあります。

間にある0を取り除くと、3の置かれる位置まで変わってしまうわけです。

0は「その位には何もない」ことを表す

次に、

5042

という数を考えてみましょう。

位ごとに見ると、

千の位	百の位	十の位	一の位
5	0	4	2

です。

したがって、5042は、

$5\times1000+0\times100+4\times10+2$

つまり、

$5000+40+2$

という数です。

百の位には100が一つもないので、百の位には0を書きます。

このように0は、その位のまとまりが0個であることを表しています。

0が数字の位置を保っている

5042から0を取り除いて、

542

と書いたとします。

すると、5は千の位ではなく百の位になり、4は十の位のままですが、数全体はまったく別の大きさになります。

数	位ごとの分け方
5042	$5000+40+2$
542	$500+40+2$

0そのものは百の位に何もないことを表していますが、その0があることで、5が千の位にあることが分かります。

つまり0には、ほかの数字がどの位にあるのかを示すために、場所を空けておく役割もあるのです。

途中に0がいくつあっても考え方は同じ

0が一つだけでなく、いくつか続く数もあります。

たとえば、

7003

を考えてみましょう。

千の位	百の位	十の位	一の位
7	0	0	3

7003は、

$7\times1000+0\times100+0\times10+3$

なので、

$7000+3$

です。

百の位にも十の位にもまとまりがないため、その二つの位には0が入っています。

同じように、

60020

なら、

$6\times10000+2\times10$

と考えることができます。

0が続いていても、右から一の位、十の位、百の位……と順番に見ていけば迷いません。

数を読むときには0をそのまま読まない

数字で書くときには0が必要でも、日本語で数を読むときには0を一つずつ読むわけではありません。

たとえば、

405

は「四百ゼロ十五」とは読まず、

四百五

と読みます。

また、

3020

は、

三千二十

と読みます。

数字で表すときには、百の位が0であることを示すために0を書きますが、読むときには、その位に何もない部分を飛ばして読みます。

この違いは、これから万・億・兆のような大きな数を読むときにも重要になります。

0を見たら「どの位が空いているのか」を考えよう

0を含む整数を見るときには、「0がある」とだけ考えるのではなく、どの位に0があるのかを見ることが大切です。

たとえば、

50804

なら、右から順に位を確認すると、

万の位	千の位	百の位	十の位	一の位
5	0	8	0	4

となります。

したがって、

$50000+800+4$

という数です。

0は目立たない数字ですが、位取りの中では欠かせません。

どの位にまとまりがあり、どの位にはないのかを正確に表しているからです。

次は、千よりさらに大きな数へ進み、万・億・兆の読み方を見ていきます。

万より大きな数を読もう

ここまでは、一、十、百、千という位を見てきました。

では、1000よりさらに大きな数は、どのように読めばよいのでしょうか。

十進法では、どの位でも「10個集まると一つ上の位になる」という仕組みは変わりません。

そのため、千の次にも新しい位が続いていきます。

中学受験算数では、万や億、兆までの大きな数を正しく読んだり、数字で表したりする力が必要です。

千の次は「万」になる

1000が10個集まると、

$1000\times10=10000$

になります。

この10000を、一万と読みます。

つまり、

数	読み方
1000	千
10000	一万

となります。

万の位も、これまでと同じように一つ下の位の10倍です。

したがって、

$1万=10000$

です。

一万・十万・百万・千万

万より大きな数も、10倍ずつ増えていきます。

数字	読み方
10000	一万
100000	十万
1000000	百万
10000000	千万

たとえば、

356000

なら、

$35万6000$

と考えることができます。

また、

7200000

なら、

$720万$

です。

数字が多くなると一見複雑に見えますが、位を一つずつ確認すれば、仕組みそのものは千までと変わりません。

千万の次は「億」になる

千万が10個集まると、

$1000万\times10=1億$

となります。

数字で書けば、

$1億=100000000$

です。

億も、万と同じようにその中に十、百、千の位を持ちます。

数字	読み方
100000000	一億
1000000000	十億
10000000000	百億
100000000000	千億

たとえば、

325000000

は、

三億二千五百万

と読みます。

「億」という名前だけを見るのではなく、億のまとまりの中でも十進法が続いていると考えると分かりやすくなります。

億の次は「兆」になる

千億が10個集まると、次は一兆になります。

数字で書くと、

$1兆=1000000000000$

です。

ここまでを並べると、

まとまり	数字
一万	10000
一億	100000000
一兆	1000000000000

となります。

数字だけを見ると0がたくさん並んでいますが、万、億、兆の位置を意識すると整理しやすくなります。

大きな数も十進法の仕組みは変わらない

万や億、兆という名前が出てくると、急に新しい仕組みに変わったように見えるかもしれません。

しかし、考え方はこれまでと同じです。

$1\rightarrow10\rightarrow100\rightarrow1000\rightarrow10000$

と、一つ上の位へ進むたびに10倍になります。

その先も、

$1万\rightarrow10万\rightarrow100万\rightarrow1000万\rightarrow1億$

と続きます。

さらに、

$1億\rightarrow10億\rightarrow100億\rightarrow1000億\rightarrow1兆$

です。

つまり、万・億・兆という名前が変わっても、一つ左の位へ進むと10倍になるという十進法の決まりは変わりません。

万・億・兆の位置を押さえて読もう

大きな数を読むときには、右から一の位、十の位、百の位……とすべてを一つずつ追ってもかまいません。

ただし、桁数が増えるほど間違えやすくなります。

そこで、まず万・億・兆がどこにあるのかを押さえることが大切です。

たとえば、

234567890123

という数があったとします。

このような数をいきなり左から読もうとすると、どこが万で、どこが億なのか分からなくなりやすいものです。

大きな数には、読みやすくするための一定のまとまりがあります。

次の節では、この数をいくつかのかたまりに分けながら、大きな数を4桁ずつ区切って読む方法を見ていきます。

大きな数は4桁ずつ区切って考える

万、億、兆と数が大きくなるにつれて、数字の桁数も増えていきます。

たとえば、

123456789

という数を、そのまま左から読もうとすると、どこが万で、どこが億なのか分かりにくくなります。

そこで、大きな数を読むときには、右から4桁ずつ区切ると考えると整理しやすくなります。

これは、万・億・兆という名前が4桁ごとに変わるためです。

日本の数の名前は4桁ごとに変わる

ここまでに学んだ位を並べてみましょう。

位	数字で表した大きさ
一の位	1
十の位	10
百の位	100
千の位	1000
一万の位	10000

一、十、百、千まで進むと、次に万という新しいまとまりの名前が現れます。

その後も、

一万、十万、百万、千万

と進み、その次に億になります。

同じように、

一億、十億、百億、千億

と進んだ次が兆です。

つまり、

まとまり	含まれる位
一のまとまり	一・十・百・千
万のまとまり	一万・十万・百万・千万
億のまとまり	一億・十億・百億・千億
兆のまとまり	一兆・十兆・百兆・千兆

というように、4つの位が一つのまとまりになっています。

右から4桁ずつ区切ってみよう

たとえば、

123456789

という数を考えます。

右から4桁ずつ区切ると、

1｜2345｜6789

となります。

右端の6789は、一・十・百・千のまとまりです。

その左の2345は、万のまとまりです。

さらに左の1は、億のまとまりです。

したがって、

1億2345万6789

と読むことができます。

桁数の多い数でも、4桁ずつ区切れば、それぞれのまとまりが何を表しているのか見やすくなります。

4桁ごとに「万・億・兆」を付ける

もう少し大きな数を見てみましょう。

567812340025

右から4桁ずつ区切ると、

5678｜1234｜0025

となります。

それぞれのまとまりに名前を付けると、

まとまり	数字	付く名前
左	5678	億
中央	1234	万
右	0025	なし

です。

したがって、この数は、

5678億1234万25

と読みます。

右端の0025は「二十五」と読めばよく、「ゼロゼロ二十五」と読む必要はありません。

それぞれの4桁のまとまりの中では、0のある位を飛ばして読めばよいからです。

まとまりが0のときは、その部分を読まない

大きな数では、4桁のまとまり全体が0になることもあります。

たとえば、

300000005

を4桁ずつ区切ると、

3｜0000｜0005

となります。

これは、

• 億のまとまりが3
• 万のまとまりが0
• 一のまとまりが5

ということです。

万のまとまりは何もないので、その部分は読みません。

したがって、

三億五

と読みます。

「三億零万五」のように読む必要はありません。

ここでも、前に学んだ0はその位にまとまりがないことを表すという考え方が使われています。

数字のカンマは3桁ごとに付く

大きな数は、数字で書くときにカンマを付けて表されることがあります。

たとえば、

123,456,789

のような書き方です。

ここで注意したいのは、カンマは3桁ごとに付くということです。

一方、日本語の万・億・兆は4桁ごとにまとまります。

分け方	区切り方
カンマ	3桁ごと
万・億・兆	4桁ごと

そのため、

123,456,789

をカンマの位置だけ見て、そのまま万や億に対応させることはできません。

日本語で読むときには、カンマとは別に右から4桁ずつ区切って、

1｜2345｜6789

と考えます。

すると、

1億2345万6789

と読めます。

迷ったら右から4桁ずつ区切ろう

桁数の多い数を読むときに最も起こりやすいのは、万や億の位置を一つずらしてしまうことです。

そのようなときは、頭の中だけで読もうとせず、右から4桁ずつ線を入れると確実です。

たとえば、

804030020010

なら、

8040｜3002｜0010

と区切ります。

したがって、

8040億3002万10

と読めます。

大きな数だからといって、新しい読み方を一つずつ暗記する必要はありません。

右から4桁ずつ区切り、それぞれに万・億・兆を付けるという仕組みを使えば、桁数が増えても同じ方法で読めます。

次は、今とは反対に、「二億三百七万」のように言葉で表された大きな数を、数字で正しく書く方法を見ていきます。

大きな数を数字で表そう

ここまでは、数字で書かれた大きな数を読む方法を見てきました。

今度は反対に、

三億二千五百万

のように言葉で表された数を、数字で書く方法を考えます。

大きな数を数字に直すときも、基本になるのは万・億・兆という4桁ごとのまとまりです。

特に注意したいのは、途中に0が入る場合です。

まずは「万」のまとまりを数字に直そう

たとえば、

三万五千

を数字で表してみましょう。

三万は、

$3\times10000=30000$

で、五千は、

$5\times1000=5000$

です。

したがって、

$30000+5000=35000$

となるので、

35000

と書きます。

同じように、

七万二百三

なら、

$70000+200+3=70203$

です。

千の位や十の位に数がないので、その場所には0が入ります。

「億」と「万」に分けて考える

次に、

二億三百七万

を考えます。

このような数は、まず

• 億のまとまり
• 万のまとまり
• 一のまとまり

に分けると分かりやすくなります。

億のまとまり	万のまとまり	一のまとまり
2	307	0

万のまとまりには「三百七万」とあるので、4桁で考えると、

0307

です。

一のまとまりには何もないので、

0000

となります。

したがって、

2｜0307｜0000

と並べればよく、答えは、

203070000

です。

大きな数では、各まとまりを4桁でそろえることが大切です。

途中に0が入る数に注意しよう

大きな数を数字に直す問題では、0の入る場所で間違えやすくなります。

たとえば、

五億三百万二十

を考えてみましょう。

まとまりごとに分けると、

億のまとまり	万のまとまり	一のまとまり
5	300	20

です。

それぞれを4桁でそろえると、

5｜0300｜0020

となります。

したがって、数字では、

503000020

と表します。

「三百万」は万のまとまりの中では300なので、0300と置きます。

また、「二十」は一のまとまりの中では0020です。

0を省いてしまうと、数字の位置がずれて別の数になってしまいます。

あるまとまりがまったくないときは0000を入れる

たとえば、

四億七

を数字にしてみましょう。

これは、

• 億のまとまりが4
• 万のまとまりが0
• 一のまとまりが7

という数です。

したがって、

4｜0000｜0007

と考えます。

数字で書けば、

400000007

です。

万のまとまりがまったくないからといって、その部分を数字でも飛ばしてしまうことはできません。

位を正しく保つために、0000を入れる必要があります。

兆まであっても考え方は同じ

兆が入っても、方法は変わりません。

たとえば、

三兆二十五億四百万六千

を考えます。

まず、4桁ごとのまとまりに分けます。

兆のまとまり	億のまとまり	万のまとまり	一のまとまり
3	25	400	6000

4桁でそろえると、

3｜0025｜0400｜6000

となります。

したがって、数字では、

3002504006000

と表します。

桁数が増えても、

兆｜億｜万｜一

という4桁ごとの箱に分けて考えれば整理できます。

大きな数を書くときは「4桁の箱」を作ろう

大きな数を数字に直すときに、頭の中だけで0の個数を数えると間違えやすくなります。

そこで、最初に次のような4桁ごとの箱を考えると確実です。

兆	億	万	一

たとえば、

八億五万三百二

なら、

億	万	一
8	5	302

これを4桁でそろえて、

8｜0005｜0302

とします。

したがって、

800050302

です。

大きな数を数字で書くときは、0を何個付けるかを暗記するのではなく、万・億・兆ごとに4桁のまとまりを作ると考えるのが基本です。

次は、2つの整数を比べて、どちらが大きいかを正しく判断する方法を見ていきます。

整数の大きさを比べよう

整数を正しく読んだり書いたりできるようになったら、次は2つの整数の大きさを比べてみましょう。

たとえば、

58324　と　57986

では、どちらが大きいでしょうか。

このような問題では、数字を何となく見比べるのではなく、位の大きい方から順番に比べると確実です。

桁数が違う整数は、桁数の多い方が大きい

まず、

9876　と　10234

を比べてみましょう。

9876は4桁の数で、10234は5桁の数です。

5桁の整数で最も小さい数は、

10000

です。

一方、4桁の整数で最も大きい数は、

9999

です。

したがって、

$10234>9876$

となります。

このように、0以上の整数どうしを比べるときは、桁数が違えば、桁数の多い方が大きいと判断できます。

整数	桁数
9876	4桁
10234	5桁

桁数が同じなら左の位から比べる

では、桁数が同じ場合はどうでしょうか。

先ほどの、

58324　と　57986

を比べます。

どちらも5桁なので、桁数だけでは大小を決められません。

そこで、最も大きな位である左端の数字から順番に比べます。

位	58324	57986
万の位	5	5
千の位	8	7

万の位はどちらも5なので、ここではまだ大小が決まりません。

次に千の位を見ると、8と7です。

$8>7$なので、

$58324>57986$

と分かります。

それより右の百の位、十の位、一の位を比べる必要はありません。

最初に違う数字が見つかったところで決まる

桁数が同じ整数どうしでは、左から順に数字を比べていき、最初に違いが出た位で大小が決まります。

たとえば、

437205　と　437189

を比べてみましょう。

位	437205	437189
十万の位	4	4
万の位	3	3
千の位	7	7
百の位	2	1

十万、万、千の位までは同じですが、百の位で2と1に分かれます。

したがって、

$437205>437189$

です。

整数の大小比較では、右端から比べるのではなく、数全体への影響が最も大きい左側の位から比べるのが基本です。

「大きな位の1」は、右側の数字より強い

なぜ左から比べればよいのでしょうか。

たとえば、

5000　と　4999

を考えてみます。

5000では千の位が5、4999では千の位が4です。

4999の方には右側に9が3つ並んでいますが、それでも5000の方が大きくなります。

これは、千の位が1増えると数全体では1000増えるのに対して、百の位以下をすべて最大にしても、

$999<1000$

だからです。

つまり、一つ大きな位での差は、それより右側の位をすべて合わせてもひっくり返せません。

だからこそ、整数の大小は左の位から順番に見ればよいのです。

不等号を使って大小を表そう

2つの数の大小は、言葉だけでなく不等号を使って表すことができます。

記号	意味	例
$>$	左の数の方が大きい	$8>5$
$<$	左の数の方が小さい	$3<7$

たとえば、

$72000>69850$

は、「72000は69850より大きい」という意味です。

また、

$4567<4602$

は、「4567は4602より小さい」という意味です。

不等号は、口が大きく開いている側に大きい数を書く、と覚えてもかまいません。

ただし、記号の形だけで判断するのではなく、まず整数そのものの大小を正しく比べることが大切です。

同じ大きさなら等号を使う

2つの数の大きさが同じ場合は、

$=$

を使います。

たとえば、

$3000+400+20+5=3425$

です。

$=$は「答えを書くための記号」ではなく、左側と右側の大きさが等しいことを表しています。

等号の意味は、後で逆算や式のきまりを学ぶときに改めて詳しく扱います。

ここでは、

• 左の方が大きいときは $>$
• 左の方が小さいときは $<$
• 同じ大きさなら $=$

と整理しておきましょう。

大きな数でも比べ方は変わらない

万や億を含む大きな数でも、比べ方は同じです。

たとえば、

3億8250万　と　3億7999万

なら、どちらも3億台です。

億のまとまりが同じなので、次に万のまとまりを比べます。

$8250万>7999万$

なので、

$3億8250万>3億7999万$

です。

数字で書かれている場合でも、万・億・兆のまとまりを意識すると比較しやすくなります。

整数の大小を比べるときは、まず桁数を確認し、同じ桁数なら左の位から順番に見る。この手順を身につけておけば、桁数が増えても迷いにくくなります。

次は、整数を10倍・100倍したときに、数字や位がどのように変わるのかを見ていきます。

整数を10倍・100倍するとどうなるか

整数を10倍すると、数字の右に0を一つ付けることができます。

たとえば、

$37\times10=370$

です。

この計算を、「10倍すると0を一つ付ければよい」と覚えている人も多いでしょう。

もちろん答えを求めるだけなら、それでも計算できます。

しかし、なぜ0を一つ付けると10倍になるのでしょうか。

その理由は、ここまで学んできた十進法と位取りにあります。

10倍すると、それぞれの数字が一つ上の位へ移る

まず、

37

という数を考えます。

37は、

$3\times10+7$

なので、

$30+7$

という数です。

これを10倍すると、

$(30+7)\times10$

となります。

30は10倍されて300に、7は10倍されて70になるので、

$300+70=370$

です。

位で見ると、

	百の位	十の位	一の位
37	0	3	7
370	3	7	0

となります。

37では十の位にあった3が、10倍すると百の位へ移ります。

一の位にあった7も、十の位へ移ります。

つまり、整数を10倍すると、それぞれの数字が一つ上の位へ移るのです。

なぜ右に0を一つ付けるのか

10倍すると数字が一つ左の位へ移るので、もともとの一の位が空きます。

その空いた一の位に0が入ります。

たとえば、

248

を10倍すると、

	千の位	百の位	十の位	一の位
248	0	2	4	8
2480	2	4	8	0

となります。

したがって、

$248\times10=2480$

です。

ここで大切なのは、「10倍するから0を付ける」のではなく、

10倍すると各数字が一つ上の位へ移り、空いた一の位を0で表すため、結果として右に0が一つ付く

ということです。

100倍すると位が二つ上がる

100倍についても考え方は同じです。

100は、

$10\times10$

なので、100倍することは10倍を2回することと同じです。

たとえば、

43

を100倍すると、

$43\times100=4300$

となります。

位の動きを見ると、

• 十の位の4は千の位へ
• 一の位の3は百の位へ

移っています。

つまり、100倍するとそれぞれの数字が二つ上の位へ移ることになります。

そのため、右側に空いた二つの位には0が入り、

4300

となります。

1000倍なら位は三つ上がる

同じ考え方を使えば、1000倍も説明できます。

1000は、

$10\times10\times10$

なので、1000倍すると、それぞれの数字が三つ上の位へ移ります。

たとえば、

$52\times1000=52000$

です。

何倍するか	位の動き	例
10倍	一つ上の位へ移る	$52\times10=520$
100倍	二つ上の位へ移る	$52\times100=5200$
1000倍	三つ上の位へ移る	$52\times1000=52000$

このように考えると、「0をいくつ付けるか」をその都度暗記する必要はありません。

もとの数に0があっても考え方は変わらない

たとえば、

305

を10倍してみましょう。

305は、

$300+5$

です。

これを10倍すると、

$3000+50=3050$

となります。

したがって、

$305\times10=3050$

です。

もとの数の途中に0があっても、その0を含めて各数字の位置が一つずつ上の位へ移るだけです。

同じように、

$4020\times100=402000$

となります。

「0を付ける」は整数の場合の結果

整数を10倍、100倍、1000倍するときは、結果として右に0を付ける形になります。

ただし、ここで身につけたいのは、

10倍すると一つ上の位へ移る

という考え方です。

このあと小数を学ぶと、

$2.5\times10=25$

のように、「右に0を一つ付ける」だけでは説明できない計算も出てきます。

それでも、数字の表す大きさが一つ上の位へ移るという仕組みは変わりません。

そのため、今のうちから「0を付ける」という形ではなく、位がどのように変わっているのかを見る習慣をつけておくと、後の小数の学習にもつながります。

10倍・100倍は位取りから考えよう

ここまでの内容を整理すると、

操作	数字の動き
10倍	一つ上の位へ移る
100倍	二つ上の位へ移る
1000倍	三つ上の位へ移る

となります。

たとえば、

$326\times100=32600$

という計算も、326の各数字が二つ上の位へ移った結果です。

十進法では、一つ上の位が10倍の大きさになっています。

整数の10倍や100倍は、その位取りの仕組みをそのまま利用した計算なのです。

次は、ここまで学んだ整数・十進法・位取り・大きな数の読み書きを、基本問題を通して確認していきます。

基本問題で確認しよう

ここまで、整数の表し方、十進法、位取り、0の役割、大きな数の読み書き、整数の大小、10倍・100倍について学んできました。

最後に、基本問題を通して内容を確認してみましょう。

答えだけを出すのではなく、どの位を見ているのか、なぜその数字になるのかを意識して解いてみてください。

問題1　位と数字を確認しよう

次の数について答えなさい。

58324

1. 千の位の数字はいくつですか。
2. 百の位の数字はいくつですか。
3. 千の位の数字が表している大きさはいくつですか。

答え

1. 8
2. 3
3. 8000

58324を位ごとに見ると、

万の位	千の位	百の位	十の位	一の位
5	8	3	2	4

となります。

「千の位の数字」は8ですが、その8が表している大きさは、

$8\times1000=8000$

です。

数字そのものとその数字が表す大きさを区別しておきましょう。

問題2　整数を位ごとに分けよう

次の数を、位ごとのまとまりに分けて表しなさい。

70642

答え

$70000+600+40+2$

70642を位ごとに見ると、

万の位	千の位	百の位	十の位	一の位
7	0	6	4	2

です。

千の位には何もないので、

$0\times1000=0$

となり、式では省くことができます。

したがって、

$70642=70000+600+40+2$

です。

問題3　大きな数を読もう

次の数を読みなさい。

305080042

答え

三億五百八万四十二

右から4桁ずつ区切ると、

3｜0508｜0042

となります。

億のまとまり	万のまとまり	一のまとまり
3	0508	0042

したがって、

三億五百八万四十二

と読みます。

0を一つずつ読むのではなく、4桁ごとのまとまりの中で、必要な位だけを読んでいきます。

問題4　大きな数を数字で書こう

次の数を数字で表しなさい。

七億三十万五百六

答え

700300506

まず、4桁ごとのまとまりに分けます。

億のまとまり	万のまとまり	一のまとまり
7	30	506

4桁でそろえると、

7｜0030｜0506

です。

したがって、

700300506

となります。

「三十万」の部分を30とだけ考えて詰めて書くのではなく、万のまとまりを0030と4桁で考えるのがポイントです。

問題5　整数の大きさを比べよう

次の2つの数の大小を、不等号を使って表しなさい。

582304　と　581999

答え

$582304>581999$

どちらも6桁なので、左から順に数字を比べます。

位	582304	581999
十万の位	5	5
万の位	8	8
千の位	2	1

十万の位と万の位は同じですが、千の位で、

$2>1$

となります。

したがって、

$582304>581999$

です。

問題6　10倍・100倍を考えよう

次の計算をしなさい。

1. $408\times10$
2. $408\times100$
3. $5203\times1000$

答え

1. $4080$
2. $40800$
3. $5203000$

10倍すると、それぞれの数字が一つ上の位へ移ります。

100倍なら二つ上、1000倍なら三つ上です。

計算	位の動き	答え
$408\times10$	一つ上へ	4080
$408\times100$	二つ上へ	40800
$5203\times1000$	三つ上へ	5203000

「0を付ける」と覚えるだけでなく、数字の位が上がっていることを確認しておきましょう。

問題7　0の役割を考えよう

次の説明に当てはまる整数を答えなさい。

• 万の位が6
• 千の位が0
• 百の位が3
• 十の位が0
• 一の位が8

答え

60308

位取り表にすると、

万の位	千の位	百の位	十の位	一の位
6	0	3	0	8

となります。

千の位と十の位にはまとまりがありませんが、その場所を飛ばして書くことはできません。

0が入ることで、6、3、8がそれぞれ正しい位に置かれます。

問題8　仕組みを言葉で説明しよう

次の問いに答えなさい。

「45を10倍すると450になるのはなぜですか。」

答えの例

45では、4は十の位、5は一の位にあります。

10倍すると、それぞれの数字が一つ上の位へ移るので、4は百の位、5は十の位に移ります。

一の位には何もなくなるため0が入り、450になります。

式で考えると、

$45=40+5$

なので、

$45\times10=400+50=450$

です。

計算結果だけでなく、十進法と位取りを使って理由を説明できるかまで確認できれば、この単元の基本は十分身についています。

ここまでの内容を整理しよう

今回の記事では、整数の表し方を支えている仕組みを順番に見てきました。

内容	押さえておきたいこと
十進法	10個集まると一つ上の位になる
位取り	数字は置かれる位置によって表す大きさが変わる
0の役割	まとまりがない位を示し、数字の位置を保つ
万・億・兆	4桁ごとに新しいまとまりの名前が付く
大きな数の読み書き	右から4桁ずつ区切って考える
整数の大小	桁数を比べ、同じなら左の位から比べる
10倍・100倍	数字が一つ、二つ上の位へ移る

これらは別々の決まりではありません。

「10個で一つ上の位になる」という十進法の仕組みをもとに、位取り、大きな数、10倍・100倍までがつながっています。

次の記事では、この整数を使ったたし算・ひき算・かけ算・わり算と、四則混合計算の順序を学んでいきます。

次は整数の計算へ

ここまで学んできたのは、「整数をどのように計算するか」よりも前にある、整数そのものの仕組みです。

0から9までの数字を使い、10個集まると一つ上の位へ進む。数字が置かれた位置によって表す大きさが変わる。

普段はあまり意識しませんが、整数の計算もすべてこの仕組みの上に成り立っています。

位取りが分かると筆算の意味も見えてくる

たとえば、

$28+35$

という計算を考えてみます。

28は、

$20+8$

35は、

$30+5$

と見ることができます。

同じ位どうしをまとめると、

$20+30=50$

$8+5=13$

なので、

$50+13=63$

です。

一の位で、

$8+5=13$

となったとき、13個の「1」のうち10個を一つの「10」にまとめます。

筆算でいう繰り上がりは、ここまで学んだ「10個集まると一つ上の位になる」という十進法そのものです。

ひき算の繰り下がりについても、反対に一つ上の位のまとまりを10個の小さなまとまりに分けていると考えることができます。

たし算・ひき算・かけ算・わり算を学ぶ

整数の計算には、4つの基本があります。

計算	基本的な考え方
たし算	いくつかの数を合わせる
ひき算	差を求めたり、一部を取り除いたりする
かけ算	同じ大きさのまとまりがいくつあるかを考える
わり算	同じ数ずつ分けたり、いくつ分あるかを求めたりする

これらをまとめて四則計算といいます。

計算方法そのものは小学校ですでに学んでいる内容も多いですが、中学受験では、ただ筆算ができれば十分というわけではありません。

文章題では「なぜここでわり算をするのか」を判断する必要がありますし、複雑な式では、どの計算から行うのかを正しく判断しなければなりません。

複数の計算があるときには順序がある

たとえば、

$8+3\times4$

という式があります。

左から順番に計算して、

$(8+3)\times4$

としてよいわけではありません。

たし算・ひき算・かけ算・わり算が一つの式に含まれるときには、計算する順序が決まっています。

さらに、

$(8+3)\times4$

のようにかっこがある場合には、かっこの中を先に計算します。

こうした計算を四則混合計算といいます。

次の記事では、整数のたし算・ひき算・かけ算・わり算の意味を確認したうえで、四則混合計算をどの順番で処理すればよいのかを整理していきます。