問題
下の図のような, 平行四辺形ABCDの辺上に$\mathrm{DE}:\mathrm{EC}=1:2,\ \mathrm{BF}:\mathrm{FC}=3:1$となるような点E, Fがある. 点Eを通り辺ADに平行な線を引き, 対角線ACと交わった点をG, ACとEFの交わった点をHとする. 次の問いに答えなさい.
解説
(1) $\mathrm{AD}:\mathrm{GE}$を求めなさい.
$\mathrm{AD}\parallel\mathrm{GE}$なので, 三角形GECと三角形ADCは相似より, $\mathrm{DE}:\mathrm{EC}=1:2$, $\mathrm{EC}:\mathrm{DC}=2:3$です.
よって, $\mathrm{GE}:\mathrm{AD}=2:3$となるので, $\mathrm{AD}:\mathrm{GE}=$$3:2$とわかります.
(2) $\mathrm{GH}:\mathrm{HC}$を求めなさい.
(1)より, $\mathrm{AD}:\mathrm{GE}=3:2$です.
ここで, $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}=12$とすると, $\mathrm{GE}=8$, $\mathrm{BF}:\mathrm{FC}=3:1$なので, $\mathrm{FC}=3$です.
また, $\mathrm{GE}\parallel\mathrm{FC}$なので, 三角形HGEと三角形HCFは相似より, $\mathrm{GH}:\mathrm{HC}=\mathrm{GE}:\mathrm{FC}=$$8:3$とわかります.
(3) 三角形HCEと三角形ADGの面積の比を求めなさい.
$\mathrm{AG}:\mathrm{GC}=1:2$, $\mathrm{GH}:\mathrm{HC}=8:3$より$\mathrm{AG}:\mathrm{GH}:\mathrm{HC}=11:16:6$となります.
ここで三角形ADGの面積を$\fbox{11}$と置くと, 三角形HCEは$\fbox{22}\times\dfrac{2}{1+2}\times\dfrac{6}{16+6}=\fbox{4}$より, 面積比は$4:11$とわかります.
