問題
$(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)$ を展開したときの $x^2$ の係数を求めよ。
解法の着眼点
4つの1次式を順番に展開しても解けますが、計算量が増え、符号や係数のミスも起こりやすくなります。
ここでは、定数項の和が等しくなる2組を作ることに着目します。
$1+7=3+5=8$ であるため、次のように組み替えると計算が簡潔になります。
解答・解説
$$ \begin{aligned} &(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)\\ &=(x+1)(x+7)(x+3)(x+5)\\ &=(x^2+8x+7)(x^2+8x+15) \end{aligned} $$ここで、求めたいのは $x^2$ の係数だけです。したがって、すべてを展開する必要はありません。
$x^2$ の項が生まれる組合せは、次の3通りです。
- $x^2$ と $15$ の積：$15x^2$
- $8x$ と $8x$ の積：$64x^2$
- $7$ と $x^2$ の積：$7x^2$
よって、$x^2$ の係数は、
$$ 15+64+7=\boxed{86} $$したがって、答えは $86$ です。
学習上のポイント
多項式の展開では、必ずしもすべての項を求める必要はありません。特定の次数の係数だけを問われた場合は、その次数が生まれる積の組合せに着目します。
また、今回のように定数項が等間隔に並んでいる場合は、両端同士を組み合わせることで、共通する係数を持つ2次式に整理できます。
