問題
次のア～ウの全ての条件を満たす整数について, 下の問に答えなさい.
- ア 3桁の3の倍数である.
- イ 各位の数が全て異なる.
- ウ いずれかの位の数が4である
解説
(1) 最も小さい整数を求めなさい.
百の位を1とし, 条件ウより, 残り2つの位のどこかに4を使うと,
- 十の位を4とすると, 3の倍数になるのは, 147のみで, これはその他の条件を満たしています.
- 一の位を4にすると, ３の倍数になるのは, 174のみで, こちらもその他の条件を満たしています.
以上より2数の大小関係を考えると, 最小の整数は$147$となります.
(2) いずれかの位の数が0である整数は何個ありますか.
各条件と問題文より3桁の整数は, 4と0を含んでいるので, 残りの1つの数字は, 2, 5, 8のいずれかになるとわかります.
後は, 場合の数を考えて, $4\times3=$$12\mbox{個}$となります.
(3) ア～ウの全ての条件を満たす整数は全部で何個ありますか.
各条件より3桁の整数は, 4を含む3の倍数になるので, 各位の和に分けて考えると,
- 和が6の場合; $(0,2,4)$
- 和が9の場合; $(0,4,5), (2,3,4)$
- 和が12の場合; $(0,4,8), (1,4,7), (2,4,6), (3,4,5)$
- 和が15の場合; $(2,4,9), (3,4,8), (4,5,6)$
- 和が18の場合; $(4,5,9), (4,6,8)$
- 和が21の場合; $(4,8,9)$
となり, それぞれの場合の数を求めると, $4\times3+6\times10=$$72\mbox{個}$とわかります.
*(2)で求めた12通りについては省略してしまってもokです
(4) 大きい方から10個の整数を全て足すといくつになりますか.
(3)で求めた場合の数から, 条件を満たす整数を大きい順に10個並べると,
$984,\ 954,\ 948,\ 945,\ 942,\ 924,\ 894,\ 864,\ 849,\ 846$
より, 和を求めると, $984+954+948+945+942+924+894+864+849+846=$$9150$となります.
