早稲田佐賀中学校の算数入試問題に挑戦！〜2021年度1月A日程〜[大問3-旅人算]

問題

姉と弟は毎週日曜日の午前10時に, 家から5km離れた図書館へ一緒に向かう. 2人で一緒に歩くときは, 時速4kmで向かう. 弟が忘れ物に気付いた場合は, 時速8kmで一人で家に戻り更に姉を追いかける. その間, 姉は時速2kmで図書館へ向かう. 次の問に答えよ. 但し, 家で忘れ物を探す時間は考えないものとし, 忘れ物を取りに帰るのは1回とする.

解説

• (1)　5月のある日曜日, 弟が忘れ物をすることなく, 2人は一緒に図書館へ到着した. 2人が到着した時刻を求めよ.
  • 5km離れた図書館へ時速4kmで向かうので, $5÷4=1.25$(時間)より, 到着する時間は11時15分となります.
• (2)　10月のある日曜日, 弟が家から2kmのところで忘れ物に気付いた. 2人が一緒に図書館に到着した時刻を求めよ. 尚, この問題は, 解答までの考え方を示す式や文章, 表などを書け.
  • 以下のように, 進行グラフを描くと,$$
    
    姉と弟が2km進むのにかかる時間は, $⧫=2÷4={\displaystyle \frac{1}{2}}$時間, 弟が2kmを引き返す時間は, $\star =2÷8={\displaystyle \frac{1}{4}}$(時間)になります.
    $$
    次に, 弟が姉に追いつく時間を考えると, 出発してから45分の時点で姉は$2+2\times {\displaystyle \frac{45-30}{60}}=2.5$kmなので, $(\mathrm{♣}=)2.5÷(8-2)={\displaystyle \frac{5}{12}}$時間とわかります.
    $$
    最後に, 弟が姉に追いついてから図書館に着くまでの時間を考えると, $(\mathrm{♠}=)(5-8\times {\displaystyle \frac{5}{12}})÷4={\displaystyle \frac{5}{12}}$時間となります.
    $$
    以上より, かかった時間の合計は, ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{5}{12}}+{\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{19}{12}}$時間となるので, 到着時刻は11時35分となります.

• (3)　12月のある日曜日, 図書館へ向かう途中で, 弟が忘れ物に気付いた. 出発してから2人が一緒に歩いた時間の合計は1時間であり, 2人は一緒に図書館へ到着した. 弟は家から何kmのところで忘れ物に気付いたか求めよ.
  • 2人が一緒に歩いた距離が$4\times 1=4$kmなので, 姉が1人で歩いた距離は$5-4=1$kmで, 時間は$1÷2={\displaystyle \frac{1}{2}}$時間とわかります.
    $$
    また, この間に弟が移動した距離は, $8\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=4$kmなので, 引き返した場所は家から$(4-1)÷2=1.5$より, 1.5kmのところとなります.