早稲田佐賀中学校の入試問題に挑戦!〜2021年度1月B日程〜[大問2-整数の性質]

中学受験算数

問題

W君とSさんが図書室で本を運ぶ仕事をする. W君は一度に12冊まで, Sさんは一度に7冊まで運ぶことができる. 2人は一度にできるだけ多くの本を運ぶものとするとき, 次の問に答えよ.

解説

  • (1) W君が1人で運んだ場合は6回, Sさんが1人で運んだ場合は11回で運び終える. このとき, 考えられる本の冊数を全て求めよ.
    • W君が6回で運べる冊数は, 最小で$12\times5+1=61$冊, 最大で$12\times6=72$冊, 同様にSさんは, 最小で$7\times10+1=71$冊, 最大で$7\times11=77$冊なので, 両者に重なる部分を求めると, 運んだ本は71冊か72冊とわかります.
  • (2) W君が1人で運んだ場合の回数と, Sさんが1人で運んだ場合の回数がわかると, 本の数が唯1通りに決まることがある. その中で一番少ない冊数を求めよ.
    • W君とSさん, それぞれが何回で何冊運べるかを調べると,

      W君が3回運んだときの最大の冊数と, Wさんが6回運んだときの最小の冊数が共に36冊になっているため, 求める冊数は36冊になります.
  • (3)W君とSさんの運んだ回数は合わせて23回であり, それぞれの運んだ本の総数が同じであった. このとき, 2人が運んだ本の合計として考えられる冊数を全て求めよ.
    • 運んだ本の総数が同じことに注目すると, 84冊(12と7の最小公倍数)を運ぶ場合, W君は7回, Sさんは12回で, 合計19回となります.
      今, 運んだ合計が23回とわかっているので, 残りの4回を以下のように振り分けると,

      • (W君の運んだ回数, Sさんの運んだ回数)=(8, 15)のとき; (W君の運んだ冊数, Sさんの運んだ冊数)=(85〜96, 99〜105)
      • (9, 14)のとき; (97〜108, 92〜98)
      • (10, 13)のとき; (109〜120, 85〜91)
      • (11, 12)のとき; (121〜132, 78〜84)
        から, 重複部分があるのは, (9, 14)のときの(97, 97)と(98, 98)のみになります.(これ以降はW君の冊数が大きくなるので, 調べなくてもok)
    • 以上より, 求める冊数は, 194冊か196冊とわかります.
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