問題
図のように, 正方形の頂点とその内部に点が3個あります。この7個の点を直線が交わらないように結ぶとき, 直線は最大で10本結べます。このとき, 正方形の4辺は数えません。同じようにして, 正二十角形の頂点とその内部に点が11個の点を直線が交わらないように結ぶとき, 直線は最大で何本結べるか求めなさい。また, 解答は答えのみでよい。
解説
まずは, 直線10本を図に引いてみると,
各図形は三角形に分けることができるので, $(3\times8-4)\div2=10$本と求められます.
ここで, 正二十角形と内部の1点を考えると, 三角形は20個でき, 2点になると三角形は2個増える(360$^{\circ}$分)ので, 点が11個なら三角形は$20+2\times(11-1)=40$より40個できるとわかります.
以上より, 辺の総数は$(3\times40-20)\div2=50$から50本となります.
