[中学受験算数]倍数の集合を考えよう！〜集合算-問題その2〜

問題

次の図は, 1から1200までの整数を, 「6の倍数」, 「8の倍数」, 「9の倍数」に分類した様子を表したものです. このとき, 後の問に答えなさい.

解説

• (1)　1から1200までの整数のうち, 「6の倍数でも8の倍数でもない整数」は何個ありますか.
  • 「6の倍数でも8の倍数でもない整数」の余事象を考えると 「6か8どちらかの倍数」となるので, これらの数は,
    • 6の倍数; $1200\div6=200$個
    • 8の倍数; $1200\div8=150$個
    • 6且つ8の倍数(=24の倍数); $1200\div24=50$個
  • から, $200+150-50=300$個あるとわかります.
    以上より, 求める個数は$1200-300=$$900\mbox{個}$となります.
• (2)　上の図の, 影をつけた部分に入る整数について考えます.
  • ①　この部分に入る整数のうち, 小さい方から5番目の数を求めなさい.
    • 影をつけた部分に入る整数を言語化すると, 「6且つ8の倍数(=24の倍数)であって9の倍数でない整数」となるので, 24の倍数を小さい順に書き出すと, $24, 48, \cancel{72}, 96, 120, \cancel{144}, 168,\cdots$より168となります.
  • ②　この部分に入る整数は何個ありますか.
    • 影の部分の整数は, 「24の倍数の個数」から「6且つ8且つ9の倍数の個数」を引けばよいので,
      $50-[1200\div72]=$$34\mbox{個}$となります.($[\mathrm{Z}]$はガウス記号でZを超えない最大の整数を表します)