皆さん、こんにちは。SS編集部です。
今回のテーマは、連立方程式になります。方程式というと、数学嫌いは漏れなく拒否反応を示す言葉ですが(斯く云う私も学生時代は苦手でした笑)、そこに更に”連立”なんてものが加わっているので、より一層難しい感じがしますね…
ですが、この方程式、意外や意外、言葉の意味を正確に理解できてしまえば、後は繰り返し問題を解くことで(←ここ重要)、苦手は疎か単純作業で機械的に答えを導くことができるようになってしまうんです。嘘だろ！？と思った、そこのあなた、騙されたと思って本編を読んで見てください。そして、問題をたくさん解いてください(←ここ重要/2度目)、そうすれば必ず得意分野にすることができます！
それでは、本編へどうぞ。
そもそも、連立方程式って何？
まずは、タイトルにもなっている連立方程式とは何か？ということから説明します。
一般に、連立方程式とは、2つ以上の方程式を組みわせた方程式のことを指し、中学数学では主に、2つの未知数\(x, y\)を用いた、2元1次方程式というものを扱います。(元は文字の種類を、次は文字の次数をそれぞれ表しているものと考えてください)
連立方程式を解く、とはどういうことか？
連立方程式についての説明が終わったので、次はその方程式を解く、ということがどういったものであるかを説明します。
一般に、\(x, y\)を用いた2元1次の連立方程式を解くとは、連立されている2つの方程式を共に満たす\(x, y\)の値を求めることを指します。そして、この値のことを方程式の解といいます。
なので、実際の問題では、「〜の方程式を解け」や「〜の方程式の解を求めよ」といった形で訊かれることが多いかと思います。(この上から目線の指示にやる気を削がれた学生も多いのではないでしょうか笑)
例題
連立方程式\begin{cases}2x+y=4\\ x-3y=9\end{cases}を解け。
例題解説
一般的に、2元1次の連立方程式の解法は2通りあって、それぞれ代入法と加減法と呼ばれています。どちらのアイデアにも共通しているのが、片方の文字を消去して、1元1次の方程式の形に持ち込む、ということです。
今回は、例題解説のため、2通りの方法で解きますが、どちらを使うべきかの判断は、
- 未知数の係数に1が含まれる場合⇒代入法
- それ以外⇒加減法で片方求めたら代入法
が良いと思います。
代入法で解いてみる
代入法は、どちらかの方程式の形を変形して、\(x=\)や\(y=\)の形にしてもう一方の式へ代入すれば良いので、上の式を変形し、
\begin{align}2x+&y=4\\ &y=-2x+4\end{align}
これを、下の式に代入すれば、
\begin{align}&x-3y=9\\ &x-3\times \left( -2x+4\right) =9\\ &x+6x-12=9\\ &7x=21\\ &x=3\end{align}
となり、\(x\)の値を求めることができたので、先ほどの式に、この値を代入すれば、
\begin{align}y&=-2x+4\\ &=-2\times 3+4\\ &=-2\end{align}
となり、\(y\)の値も求めることができました。
よって、この方程式の解は、
\(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\)
になります。
加減法で解いてみる
加減法は、未知数の係数を揃えて足し引きすることで、文字を消去するので、
\begin{aligned}x-3y=9\\ 2\times \left( x-3y\right) =2\times 9\\ 2x-6y=18\end{aligned}
より、
\begin{array}{rr}
& 2x+y=4\\
-\big{)}&2x-6y=18\\
\hline
&7y=-14\\
&y=-2
\end{array}
となり、\(y\)の値を求めることができたので、連立方程式のどちらかの式にこの値を代入すれば、
\begin{aligned}2x+y=4\\ 2x-2=4\\ 2x=6\\ x=3\end{aligned}
となり、\(x\)の値も求めることができました。
よって、この方程式の解は、
\(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\)
になります。
