早稲田佐賀中学校の算数入試問題に挑戦!〜2024年度1月入試〜[大問4-平面図形と相似]

中学受験

問題

1辺が24cmの正方形ABCDがあり, 辺ADの中点をM, MCとDBの交点をNとする. 更に, 頂点OがBM上にあり辺ADと辺ORが平行である正方形OPQRを考える. 次の問に答えなさい.

解説

  • (1) [図1]のように点Rが点Nと一致するとき, 辺OPの長さを求めなさい.
    • MR:RC=MD:BC=1:2より, OR:BC=MR:MC=1:(1+2)=1:3なので,
      OP=OR=13BC=8cmとなります.
  • (2) [図2]のように点P, QがそれぞれDB, MC上にあるとき, 辺OPの長さを求めることを考える.

    • (i) 辺BCの中点をSとし, MSと辺ORの交点をTとする. OTの長さは辺OPの長さの何倍か求めなさい.
      • BDとMCの交点をUと置くと,

        UT:TM=UR:RQ=MD:DC=1:2, OT:TM=BS:SM=1:2より, OT:OR=1:(1+1+2)=1:4から14となります.
    • (ii) 辺OPの長さを求めなさい.
      • RからMDに下した垂線との交点をVと置くと,

        MT=VRから, VD=12×PQ=12×OP,
        また, MV=RU+UT=34×OR=34×OPより,
        MD=MV+VD=(12+34)×OP=12cmなので,
        OP=12×45=9.6cmとなります.
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