早稲田佐賀中学校の算数入試問題に挑戦！〜2024年度1月入試〜[大問4-平面図形と相似]

問題

1辺が24cmの正方形ABCDがあり, 辺ADの中点をM, MCとDBの交点をNとする. 更に, 頂点OがBM上にあり辺ADと辺ORが平行である正方形OPQRを考える. 次の問に答えなさい.

解説

• (1)　[図1]のように点Rが点Nと一致するとき, 辺OPの長さを求めなさい.
  • $\mathrm{MR}:\mathrm{RC}=\mathrm{MD}:\mathrm{BC}=1:2$より, $\mathrm{OR}:\mathrm{BC}=\mathrm{MR}:\mathrm{MC}=1:(1+2)=1:3$なので,
    $\mathrm{OP}=\mathrm{OR}={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{BC}=$$8\mathrm{cm}$となります.
• (2)　[図2]のように点P, QがそれぞれDB, MC上にあるとき, 辺OPの長さを求めることを考える.
  
  • (i)　辺BCの中点をSとし, MSと辺ORの交点をTとする. OTの長さは辺OPの長さの何倍か求めなさい.
    • BDとMCの交点をUと置くと,
      
      $\mathrm{UT}:\mathrm{TM}=\mathrm{UR}:\mathrm{RQ}=\mathrm{MD}:\mathrm{DC}=1:2$, $\mathrm{OT}:\mathrm{TM}=\mathrm{BS}:\mathrm{SM}=1:2$より, $\mathrm{OT}:\mathrm{OR}=1:(1+1+2)=1:4$から${\displaystyle \frac{1}{4}}\text{倍}$となります.
  • (ii)　辺OPの長さを求めなさい.
    • RからMDに下した垂線との交点をVと置くと,
      
      $\mathrm{MT}=\mathrm{VR}$から, $\mathrm{VD}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \mathrm{PQ}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \mathrm{OP}$,
      また, $\mathrm{MV}=\mathrm{RU}+\mathrm{UT}={\displaystyle \frac{3}{4}}\times \mathrm{OR}={\displaystyle \frac{3}{4}}\times \mathrm{OP}$より,
      $\mathrm{MD}=\mathrm{MV}+\mathrm{VD}=({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{4}})\times \mathrm{OP}=12\mathrm{cm}$なので,
      $\mathrm{OP}=12\times {\displaystyle \frac{4}{5}}=$$9.6\mathrm{cm}$となります.