問題
1から15までの数字が書かれた15枚のカードが, 番号の小さい順に左から並んでいます. これらのカードを次の規則(＊)に従って入れ替えます.
- (＊) 1回の操作では, 隣り合った2枚のカードのみ左右を入れ替えることができる.
このとき,
- (ア) $\fbox{15}$, $\fbox{2}$, $\fbox{3}$, $\cdots$, $\fbox{14}$, $\fbox{1}$となるように1と15の番号のカードだけを入れ替えるとき, この操作は最低◻︎回行う必要があります.
- (イ) 左から大きい順に$\fbox{15}$, $\fbox{14}$, $\cdots$, $\fbox{2}$, $\fbox{1}$と並び替えるためには, この操作を最低◻︎回行う必要があります.
解説
$\fbox{1}$, $\fbox{2}$, $\fbox{3}$, $\cdots$, $\fbox{14}$, $\fbox{15}$から, $\fbox{15}$, $\fbox{1}$, $\fbox{2}$, $\cdots$, $\fbox{13}$, $\fbox{14}$になるまでに14回入れ替えを行い, 次に, $\fbox{15}$, $\fbox{1}$, $\fbox{2}$, $\cdots$, $\fbox{13}$, $\fbox{14}$から, $\fbox{15}$, $\fbox{2}$, $\fbox{3}$, $\cdots$, $\fbox{14}$, $\fbox{1}$になるまでに13回入れ替えを行うので, 合わせて27回となります.
また, 上の状態から$\fbox{2}$を右から2番目に移動させるためには12回入れ替えを行う必要があり, 以下11回, 10回, …となるので, 求める回数は, $14+13+\dots+2+1=(14+1)\times14\div2=105$より, 105回となります.
以上より, $◻︎=27, 105$とわかります.
