空間図形の求積問題〜回転体編〜

問題

図1において直線ℓを軸として1回転させてできる立体と、図2において直線mを軸として1回転させてできる立体について、次の問に答えなさい。

• (1) 2つの立体の体積が等しいとき、$x$の値を求めなさい。
• (2) 2つの立体の表面積が等しいとき、$x$の値を求めなさい。

解説

• (1) 図1の立体の体積は、半径6cmの半球と底面の半径が6cmで高さが8cmの円錐の合計なので、
  ${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi \times 6^3\times {\displaystyle \frac{1}{2}}+6\times 6\times \pi \times 8\times {\displaystyle \frac{1}{3}}$
  $=144\pi +96\pi$
  $=240\pi$
  より、240$\pi$㎠になります。

  また、図2の立体の体積は、底面の半径が6cmで高さが$x$cmの円柱なので、
  $6\times 6\times \pi \times x=36\pi x$
  となり、この値が240$\pi$㎠より、
  $240\pi =36\pi x$
  $x={\displaystyle \frac{20}{3}}$

• (2) 図1の立体の表面積は、半径6cmの半球と半径が10cmの扇形の合計なので、
  $4\pi \times 6^2\times {\displaystyle \frac{1}{2}}+10\times 10\times \pi \times {\displaystyle \frac{6}{10}}$
  $=72\pi +60\pi$
  $=132\pi$

  また、図2の立体の表面積は、半径6cmの円2つと側面の長方形の合計なので、
  $6\times 6\times \pi \times 2+6\times 2\times \pi \times x$
  $=72\pi +12\pi x$
  となり、この値が$132\pi$㎠より、
  $132\pi =72\pi +12\pi x$
  $x=5$