問題
次のように, 1から10までの数が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ, 合計10枚あります. この中から, 何枚かのカードを選び, それらのカードに書かれた数の積を考えます. カードを選ぶ順番は考えないものとして, 後のそれぞれの場合について答えなさい.
$\fbox{1}$ $\fbox{2}$ $\fbox{3}$ $\fbox{4}$ $\fbox{5}$ $\fbox{6}$ $\fbox{7}$ $\fbox{8}$ $\fbox{9}$ $\fbox{10}$
解説
- (1) 10枚の中から, 2枚のカードを選びます. カードに書かれた数の積が奇数になるような2枚のカードの選び方は何通りありますか.
- 積が奇数になるためには, 2枚とも奇数のカード(1, 3, 5, 7, 9)を選ぶ必要があるので, ${}_5 \mathrm{C}_2=\dfrac{5\times4}{2\times1}=$$10\mbox{通り}$となります.
- (2) 10枚の中から, 3枚のカードを選びます. カードに書かれた数の積が5の倍数になるような3枚のカードの選び方は何通りありますか.
- 積が5の倍数になるためには, 5か10のカードを選ぶ必要があるので,
- 5のカードを選ぶ場合; 残り2枚は任意なので, ${}_9 \mathrm{C}_2=\dfrac{9\times8}{2\times1}=36$通り
- 10のカードを選ぶ場合; 同様に36通り
- となりますが, このままでは, 5と10を共に含む場合(8通り)を重複して数えてしまっているので, 求める場合の数は, $36\times2-8=$$64\mbox{通り}$となります.
- 積が5の倍数になるためには, 5か10のカードを選ぶ必要があるので,
- (3) 10枚の中から, 2枚以上の何枚かのカードを選びます. カードに書かれた数の積の一の位が5となるようなカードの選び方は全部で何通りありますか.
- 積の一の位が5になるということは, 選ぶカードは全て奇数且つ5が含まれている必要があります.
- 2枚選ぶ場合; 5と奇数1枚を選ぶので4通り
- 3枚選ぶ場合; 5と奇数2枚を選ぶので6通り
- 4枚選ぶ場合; 5と奇数3枚を選ぶので4通り
- 5枚選ぶ場合; 5と奇数4枚を選ぶので1通り
- から, 求める場合の数は, $4+6+4+1=$$15\mbox{通り}$となります.
- 積の一の位が5になるということは, 選ぶカードは全て奇数且つ5が含まれている必要があります.
