倍数と公倍数
ある整数Zを1倍, 2倍, 3倍, …した数をZの倍数といいます.(一般に0は倍数には含まない)
例
- 3の倍数; 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, …
- 4の倍数; 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, …
また, 例で挙げた3, 4の倍数を見比べると, 12や24はどちらにも登場しています. このように, 2つ以上の整数に共通な倍数をそれらの整数の公倍数といいます.
例
- 3と4の公倍数; 12, 24, 36, 48, …
公倍数の中で, 最も小さい数を最小公倍数といい, 公倍数は最小公倍数の倍数になっていることがわかります.(最大公倍数は求められないので注意！)
例
- 3と4の公倍数; 12
約数と公約数
0でない整数Xと0でない整数Yがあり, XがYで割り切れるとき, YをXの約数といいます.
例
- 12の約数; 1, 2, 3, 4, 6, 12
- 18の約数; 1, 2, 3, 4, 9, 18
また, 例で挙げた12, 18の約数を見比べると, 1, 2, 3, 6はどちらにも登場しています. このように, 2つ以上の整数に共通な約数をそれらの公約数といいます.
例
・12と18の公約数; 1, 2, 3, 6
公約数の中で, 最も大きい数を最大公約数といい, 公約数は最大公約数の約数になっていることがわかります.(最小公約数は常に1になるので注意！)
例
- 12と18の最大公約数; 6
素数
1とその数自身しか約数がない整数を素数といいます.
例
- 5の約数; 1, 5 ⇒ 5は素数
- 6の約数; 1, 2, 3, 6 ⇒ 6は合成数
問題演習
- (1) 6の倍数を小さい方から3つ書き出せ.
- (2) 30の約数を全て書き出せ.
- (3) 16と24の公約数を全て書き出せ.
- (4) 32と40の最小公倍数と最大公約数を求めよ.
- (5) 2, 12, 13, 23, 51, 104, 111の内, 素数であるものを選べ.
解答解説
- (1) 6の倍数を小さい方から3つ書き出せ.
- $6\times1=6$, $6\times2=12$, $6\times3=18$より, 6, 12, 18
- (2) 30の約数を全て書き出せ.
- $1\times30$, $2\times15$, $3\times10$, $5\times6$より, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
- (3) 16と24の公約数を全て書き出せ.
- 16の約数; 1, 2, 4, 8, 16
- 24の約数; 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
より公約数は, 1, 2, 4, 8
- (4) 32と40の最小公倍数と最大公約数を求めよ.
- 32の約数; 1, 2, 4, 8, 16, 32
- 40の約数; 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
より最大公約数は8 - 32の倍数; 32, 64, 96, 128, 160, …
- 40の倍数; 40, 80, 120, 160, 200, …
より最小公倍数は160
- (5) 2, 12, 13, 23, 51, 104, 111の内, 素数であるものを選べ.
- 2の約数; 1, 2
- 12の約数; 1, 2, 3, 4, 6, 12
- 13の約数; 1, 13
- 23の約数; 1, 23
- 51の約数; 1, 3, 17, 51
- 104の約数; 1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104
- 111の約数; 1, 3, 37, 111
より, 素数は2, 13, 23
