問題
次の式を因数分解せよ.
解説
- (1) $(x+y+2)(x+y-3)+4$
- $t=x+y$ とおくと $(t+2)(t-3)+4=t^2-t-2=(t-2)(t+1)$.\\
よって $(x+y-2)(x+y+1)$.
- $t=x+y$ とおくと $(t+2)(t-3)+4=t^2-t-2=(t-2)(t+1)$.\\
- (2) $12x^2+xy-6y^2-31x-2y+20$
- $=12x^2+(y-31)x-(6y^2+2y-20)$
$=12x^2+(y-31)x-(2y+4)(3y-5)$
$=$$(3x-2y-4)(4x+3y-5)$.
- $=12x^2+(y-31)x-(6y^2+2y-20)$
- (3) $x^{3}(y-z)+y^{3}(z-x)+z^{3}(x-y)$
- 2つの文字が等しいと0になる（例：$y=z$ なら第1項以外が打ち消し合う）ので，式は$(x-y),(y-z),(z-x)$をそれぞれ因数に持つことがわかり, また, 残る因数は1次式且つ対称性から $x+y+z$ と予想できる.
- 符号は$z=0$ を代入して確かめると,
$\text{左辺}=x^{3}y-y^{3}x=xy(x^{2}-y^{2})=xy(x-y)(x+y)$
$(x-y)(y-0)(0-x)(x+y+0)=-xy(x-y)(x+y)$
より符号が逆になるので, $-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$.
※ ポイント：反対称（順番を入れ替えると符号が変わる）な4次の循環和は，\((x-y)(y-z)(z-x)\) に「和」\(x+y+z\) を掛けた形（ただし符号に注意）になります.
