【高校数学I】数と式を完全攻略～基本から応用までを徹底解説します！～多項式の加法と減法および乗法-例題1

問題

次の式を計算せよ.

• (1) $(x – 1)(x – 2)(x + 3)(x + 4)$
• (2) $(a + b + c)^2 – (a – b – c)^2 – (a – b + c)^2 + (a + b – c)^2$

指針

計算の順序を工夫したり, 項のまとめ方を工夫して, 公式を利用する.

• (1) 4つの因数の各定数項に注目すると, $(-1) + 3 = (-2) + 4 = 2$ であるから,
  $(x – 1)(x + 3)$, $(x – 2)(x + 4)$ と組み合わせて展開すると共通な式 $x^2 + 2x$ が現れる.
• (2) $b + c = X$, $b – c = Y$ と考えると, 括弧の中は $a$ と $X$, $a$ と $Y$ の式で表すことができる.

解答

• (1) 与式 $= \{(x – 1)(x + 3))((x – 2)(x + 4)\}$
  • $= (x^2 + 2x – 3)(x^2 + 2x – 8)$
    $= \{(x^2 + 2x) – 3\}\{(x^2 + 2x) – 8\}$
    $= (x^2 + 2x)^2 – 11(x^2 + 2x) + 24$
    $= x^4 + 4x^3 + 4x^2 – 11x^2 – 22x + 24$
    $= $$x^4 + 4x^3 – 7x^2 – 22x + 24$
• (2) 与式 $= \{a + (b + c)\}^2 – \{a – (b + c)\}^2 – \{a – (b – c)\}^2 + \{a + (b – c)\}^2$
  • $= a^2 + 2a(b + c) + (b + c)^2 – a^2 + 2a(b + c) – (b + c)^2 – a^2 + 2a(b – c) – (b – c)^2 + a^2 + 2a(b – c) + (b – c)^2$
    $= 4a(b + c) + 4a(b – c) = $$8ab$