【高校数学I】数と式を完全攻略～基本から応用までを徹底解説します！～絶対値と場合分け-問題88

問題

次の方程式, 不等式を解け.

解説

• (1) $|2x|+|x-2|=6$
  • 区間で場合分けをすると,
    • 1. $x<0$のとき
      $-2x+(2-x)=6\ \Rightarrow\ -3x+2=6\ \Rightarrow\ x=-\dfrac43$より適している.
    • 2. $0\le x<2$のとき
      $2x+(2-x)=6\ \Rightarrow\ x+2=6\ \Rightarrow\ x=4$より不適.
    • 3. $x\ge2$のとき
      $2x+(x-2)=6\ \Rightarrow\ 3x-2=6\ \Rightarrow\ x=\dfrac83$より適している.
  • 以上より  $x=-\dfrac43,\ \dfrac83$.
• (2) $|2x|+|x-2|<6$
  • (1)と同様に,区間で場合分けをすると,
    • 1. $x<0$のとき
      $-2x+(2-x)<6\ \Rightarrow\ -3x+2<6\ \Rightarrow\ x>-\dfrac43$より$-\dfrac{4}{3}<x<0$.
    • 2. $0\le x<2$のとき
      $2x+(2-x)<6\ \Rightarrow\ x+2<6\ \Rightarrow\ x<4$より$0\le x<2$.
    • 3. $x\ge2$のとき
      $2x+(x-2)<6\ \Rightarrow\ 3x-2<6\ \Rightarrow\ x<\dfrac83$より$2\le x<\dfrac{8}{3}$.
  • 以上より $-\dfrac43<x< \dfrac83$.