問題
$x$ の連立不等式 $\begin{cases}
7x-5>13-2x\\
x+a\ge 3x+5
\end{cases}$ を満たす整数 $x$ がちょうど $5$ 個存在するとき, 定数 $a$ の値の範囲を求めよ.
解説
第1不等式より $9x>18 \Rightarrow x>2$ なので, 整数の範囲で考えると$x\ge 3$.
第2不等式より $a-5\ge 2x \Rightarrow x\le \dfrac{a-5}{2}$.
したがって $x$ は整数で, $3\le x\le \left\lfloor\dfrac{a-5}{2}\right\rfloor$を満たす.(ガウス記号に注意！)
ここで, この不等式を満たす整数の個数が$5$ 個 $\ (\{3,4,5,6,7\})$ になるには$\left\lfloor\dfrac{a-5}{2}\right\rfloor=7$
であればよいから,
$7\le \dfrac{a-5}{2}<8
\ \Longleftrightarrow\
14\le a-5<16
\ \Longleftrightarrow
$$19\le a<21$となります.
