問題
次の問いに答えよ.
解説
- (1) $(a+b)^3-3ab(a+b)$ を計算せよ.
- $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$ より, $a^3+b^3$.
- (2) (1) の結果を利用して, $a^3+b^3+c^3-3abc$を因数分解せよ.
- $=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc$
$=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)$
$=(a+b+c)\{(a+b)^2-(a+b)c+c^2\}-3ab(a+b+c)$
$=$$(a+b+c)\,(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
- $=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc$
- (3) (2) の結果を利用して, 次の式を因数分解せよ.
- (ア) $x^3+y^3-3xy+1$
- $x^3+y^3+1^3-3xy\cdot1$ とみて,
$(x+y+1)\,(x^2+y^2+1-xy-x-y)$
$(x+y+1)\,(x^2-xy+y^2-x-y+1)$
- $x^3+y^3+1^3-3xy\cdot1$ とみて,
- (イ) $a^3-8b^3+12ab+8$
- $a^3+(-2b)^3+2^3-3a(-2b)\cdot2$ とみて,
$(a-2b+2)\,\big(a^2+4b^2+4+2ab+4b-2a\big)$
$=$$(a-2b+2)\,\big(a^2+2ab+4b^2-2a+4b+4\big)$
- $a^3+(-2b)^3+2^3-3a(-2b)\cdot2$ とみて,
- (ア) $x^3+y^3-3xy+1$
