中学数学の復習と準備
高校数学で初めて出てくる基本的な因数分解は, 次の3つ；
- \(acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)\)
⇒「襷掛け」と呼ばれる - \(a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3=(a\pm b)^3\)
⇒二項定理やパスカルの三角形に対応 - \(a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\)
⇒2・3の関係として、以下の対称性ある式が得られる
\((a+b)^3-3ab(a+b)=a^3+b^3\)
例題
\(x^3+6x^2+12x+8\)を因数分解しなさい。
解答
3乗の公式に気付けば簡単。もし, 気づかなくても, 以下のように計算ができる。
\(x^3+6x^2+12x+8=x^3+2^3+6x(x+2)\)
\(=(x+2)(x^2-2x+4)+6x(x+2)\)
\(=(x+2)\lbrace(x^2-2x+4)+6x\rbrace\)
\(=(x+2)(x^2+4x+4)\)
\(=\underline{(x+2)^3}\)
問題1
次の式を因数分解しなさい。
- (1) \((a-b)(x^2-y^2)-(x-y)(a^2-b^2)\)
- (2) \((1+a^2-b^2)^2-4a^2\)
- (3) \(6x^2-13xy+6y^2\)
- (4) \(abx^2-(a^2+b^2)x+ab\)
- (5) \(x^3-6x^2-4x+24\)
- (6) \(x^3+3x^2y-x-3y\)
- (7) \(8(x+y)^3+(x-y)^3\)
- (8) \(8a^3-36a^2+54a-27\)
解答1
- (1) \((a-b)(x^2-y^2)-(x-y)(a^2-b^2)\)
\(=(a-b)(x-y)(x+y)-(x-y)(a-b)(a+b)\)
\(=(a-b)(x-y)\lbrace(x+y)-(a+b)\rbrace\)
\(=(a-b)(x-y)(x+y-a-b)\)
\(\\\) - (2) \((1+a^2-b^2)^2-4a^2\)
\(=(1+a^2-b^2+2a)(1+a^2-b^2-2a)\)
\(=\lbrace(a+1)^2-b^2\rbrace\lbrace(a-1)^2-b^2\rbrace\)
\(=(a+b+1)(a-b+1)(a+b-1)(a-b-1)\)
\(\\\) - (3) \(6x^2-13xy+6y^2\)
(襷掛けを利用すると,)
\(=(2x-3y)(3x-2y)\)
\(\\\) - (4) \(abx^2-(a^2+b^2)x+ab\)
((3)同様襷掛けを利用すると,)
\(=(ax-b)(bx-a)\)
\(\\\) - (5) \(x^3-6x^2-4x+24\)
\(=x^2(x-6)-4(x-6)\)
\(=(x^2-4)(x-6)\)
\(=(x+2)(x-2)(x-6)\)
\(\\\) - (6) \(x^3+3x^2y-x-3y\)
\(=x^2(x+3y)-(x+3y)\)
\(=(x^2-1)(x+3y)\)
\(=(x-1)(x+1)(x+3y)\)
\(\\\) - (7) \(8(x+y)^3+(x-y)^3\)
\(=\lbrace2(x+y)\rbrace^3+(x-y)^3\)
\(=\lbrace2(x+y)+(x-y)\rbrace[\lbrace2(x+y)\rbrace^2-2(x+y)(x-y)+(x-y)^2]\)
\(=(3x+y)(3x^2+6xy+3y^2)\)
\(=3(3x+y)(x^2+xy+y^2)\)
\(\\\) - (8) \(8a^3-36a^2+54a-27\)
(3乗の公式を利用すると,)
\(=(2a-3)^3\)
\(\\\)
ある文字に注目する
複数の文字を含む式の因数分解は, 1つの文字について整理すると見通しが良い。整理の仕方は, 次数が低いものに注目するのがセオリーとされている。
例題1
\(a^2b+a-4b-2\)を因数分解しなさい。
解答1
次数の低い\(b\)に注目すると,
\(a^2b+a-4b-2\)
\(=b(a^2-4)+(a-2)\)
\(=b(a+2)(a-2)+(a-2)\)
\(=(a-2)\lbrace b(a+2)+1\rbrace\)
\(=\underline{(a-2)(ab+2b+1)}\)
例題2
\(a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)\)を因数分解しなさい。
解答2
各文字に注目するといずれも2次式となっているので, 今回は\(a\)について注目すると,
\(a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)\)
\(=(c-b)a^2+(b^2-c^2)a+(bc^2-b^2c)\)
\(=(c-b)a^2+(b-c)(b+c)a+bc(c-b)\)
\(=(c-b)\lbrace a^2-(b+c)a+bc\rbrace\)
\(=\underline{(b-c)(a-b)(a-c)}\)
問題2
- (1) \((a^2-b^2)^2-2(a^2+b^2)c^2+c^3\)
- (2) \((x^2+6x+3)(x^2+6x+7)+4\)
- (3) \(a^3-a^2b-a+b\)
- (4) \(x^2+xy-2y^2+2x+7y-3\)
- (5) \(2x^2-5xy-3y^2+x+11y-6\)
- (6) \((a+b)(b+c)(c+a)+abc\)
- (7) \(a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)\)
解答2
- (1) \((a^2-b^2)^2-2(a^2+b^2)c^2+c^3\)
\(=a^4-2a^2b^2+b^4-2a^2c^2-2b^2c^2+c^4\)
\(=a^4-2(b^2+c^2)+b^4-2b^2c^2+c^4+4b^2c^2-4b^2c^2\)
\(=\lbrace a^2-(b^2+c^2)\rbrace^2-(2bc)^2\)
\(=(a^2-b^2-c^2+2bc)(a^2-b^2-c^2-2bc)\)
\(=(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a-b-c)\)
\(\\\) - (2) \((x^2+6x+3)(x^2+6x+7)+4\)
(\(t=x^2+6x\)と置いて式を書き換えると,)
\((t+3)(t+7)+4\)
\(=t^2+10t+21+4\)
\(=(t+5)^2\)
(ここで置き換えた式を戻すと,)
\((x^2+6x+5)^2\)
\(=(x+1)^2(x+5)^2\)
\(\\\) - (3) \(a^3-a^2b-a+b\)
\(=a(a^2-1)-b(a^2-1)\)
\(=(a-b)(a-1)(a+1)\)
\(\\\) - (4) \(x^2+xy-2y^2+2x+7y-3\)
\(=x^2+(y+2)x-(2y^2-7y+3)\)
(ここで襷掛けを利用すると,)
\(=\lbrace x+(2y-1)\rbrace\lbrace x-(y-3)\rbrace\)
\(=(x+2y-1)(x-y+3)\)
\(\\\) - (5) \(2x^2-5xy-3y^2+x+11y-6\)
\(=2x^2-(5y-1)x-(3y^2-11y+6)\)
((4)同様襷掛けを利用すると,)
\(=\lbrace 2x+(y-3)\rbrace\lbrace x-(3y-2)\rbrace\)
\(=(2x+y-3)(x-3y+2)\)
\(\\\) - (6) \((a+b)(b+c)(c+a)+abc\)
\(=abc+a^2b+ac^2a^2c+b^2c+ab^2+bc^2+abc+abc\)
\(=(b+c)a^2+(b^2+3bc+c^2)a+bc(b+c)\)
((4)・(5)同様襷掛けを利用すると,)
\(\lbrace a+(b+c)\rbrace\lbrace (b+c)a+bc\rbrace\)
\(=(a+b+c)(ab+bc+ca)\)
\(\\\) - (7) \(a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)\)
\(=(b-c)a^3-(b^3-c^3)a+bc(b^2-c^2)\)
\(=(b-c)a^3-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+(b-c)bc(b+c)\)
\(=(b-c)\lbrace a^3-(b^2+bc+c^2)+bc(b+c)\rbrace)\)
\(=(b-c)\lbrace (c-a)b^2+(c^2-ac)b+(a^3-ac^2)\rbrace\)
\(=(b-c)\lbrace (c-a)b^2+(c-a)bc-(c-a)(c+a)a\rbrace\)
\(=(b-c)(c-a)(b^2+bc-ac-a^2)\)
\(=(b-c)(c-a)\lbrace (b+a)(b-a)+c(b-a)\rbrace\)
\(=(a+b+c)(a-b)(a-c)(b-c)\)
\(\\\)
複2次式
上手な式変形を考えると, \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)の形の因数分解ができる。
例題
\(x^4-6x^2+1\)を因数分解しなさい。
解答1
\(x^4-6x^2+1\)
\(=x^4-2x^2+1-4x^2\)
\(=(x^2-1)^2-(2x)^2\)
\(=\lbrace(x^2-1)+2x\rbrace\lbrace(x-1)^2-2x\rbrace\)
\(=\underline{(x^2+2x-1)(x^2-2x-1)}\)
解答2
\(x^4-6x^2+1\)
\(=x^4+2x^2+1-8x^2\)
\(=(x^2+1)^2-(2\sqrt{2}x)^2\)
\(=\lbrace(x^2+1)+2\sqrt{2}x\rbrace\lbrace(x+1)^2-2\sqrt{2}x\rbrace\)
\(=\underline{(x^2+2\sqrt{2}x+1)(x^2-2\sqrt{2}x+1)}\)
解答の見やすさやわかりやすさとしては1の方がよいだろう。
問題3
- (1) \(x^4-10x+9\)
- (2) \(x^4+x^2+1\)
- (3) \(x^4-27x^2y^2+y^4\)
- (4) \(9x^4-10x^2+1\)
解答3
- (1) \(x^4-10x+9\)
\(=(x^2-3)^2-x^2\)
\(=(x^2+x-3)(x^2-x-3)\)
\(\\\) - (2) \(x^4+x^2+1\)
\(=(x^2+1)^2-x^2\)
\(=(x^2+x+1)(x^2-x+1)\)
\(\\\) - (3) \(x^4-27x^2y^2+y^4\)
\(=(x^2-y^2)^2-25x^2y^2\)
\(=(x^2+5xy-y^2)(x^2-5xy-y^2)\)
\(\\\) - (4) \(9x^4-10x^2+1\)
\(=(3x^2-1)^2-4x^2\)
\(=(3x^2+2x-1)(3x^2-2x-1)\)
\(=(x-1)(x+1)(3x-1)(3x+1)\)
