定義は教科書に任せて、ここでは定義の解説をしよう。
多項式
多項式は整式とも呼ばれるが、\(\sqrt{2}x^2+\dfrac{1}{2}x-\pi\)のように、単項式の係数が整数以外でも多項式である。一方で、\(x+\dfrac{1}{x},\quad x^2\sqrt{x^2+1},\quad x^2+\sqrt{2}-1\)などは多項式ではない。
降冪(べき)の順
多項式を扱う場合、同類項をまとめて、項の次数の高い方から順に並べると見やすく、便利だ。
例題
\((a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)を展開しなさい。
解答
aに注目して、展開すると、
\(\lbrace a+(b+c)\rbrace\lbrace a^2-(b+c)a+(b^2-bc+c^2)\rbrace\)
\(=a\lbrace a^2-(b+c)a+(b^2-bc+c^2)\rbrace +(b+c)\lbrace a^2-(b+c)a+(b^2-bc+c^2)\rbrace\)
\(=a^3-(b+c)a^2+(b^2-bc+c^2)a+(b+c)a^2-(b+c)^2a+(b+c)(b^2-bc+c^2)\)
\(=\underline{a^3+b^3+c^3-3abc}\)
となります。
問題1
上に倣って、\((a-b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ca)\)を展開しなさい。
解答1
aに注目して、展開すると、
\(\lbrace a-(b-c)\rbrace\lbrace a^2+(b-c)a+(b^2+bc+c^2)\rbrace\)
\(=a\lbrace a^2+(b-c)a+(b^2+bc+c^2)\rbrace-(b-c)\lbrace a^2+(b-c)a+(b^2+bc+c^2)\rbrace\)
\(=a^3+(b-c)a^2+(b^2+bc+c^2)a-(b-c)a^2-(b-c)^2a-(b-c)(b^2+bc+c^2\)
\(=\underline{a^3-b^3+c^3+3abc}\)
降冪(べき)の順を再度考える
0でない実数\(x\)について、\(x^0=1\)と定める。このとき、\(123=1\times10^2+2\times10^1+3\times10^0\)のようにできる。これを文字式にも適応しよう、というのが「降冪(べき)の順」の考え方である。数字と同様に、整式も筆算で計算できるが、桁の代わりに、文字を揃えるわけだ。
例題
\((3x^3-5x^2+1)(1-x+2x^2)\)を計算しなさい。
解答
文字式の筆算は、以下のレシピで、
- 一つの文字について、降冪の順に整理する
- 欠けている次数の項は、空けておく
- 指数法則に注意する
- 上記の注意で、筆算と同じように計算できる
問題2
次の式を展開しなさい。
- (1) \((x^2-3x+1)(x^2-1)\)
- (2) \((x^3+2x^2-1)(x^2-2x-3)\)
- (3) \((xy-x^2+2y^2)(x^2-2xy+y^2)\)
解答2
- (1) \((x^2-3x+1)(x^2-1)\)
\(\\\) - (2) \((x^3+2x^2-1)(x^2-2x-3)\)
\(\\\) - (3) \((xy-x^2+2y^2)(x^2-2xy+y^2)\)
\(\\\)
割り算の筆算
数Ⅰのテキストなどには載っていないことが多いが、整式の割り算も、筆算で計算できる。
例題
\((x^3+27)\div(x+3)\)を計算しなさい。
解答
掛け算のときのレシピ同様、1・2に注意して計算すると、以下のようになる。
問題3
複号同順として、\((a^3\pm b^3)\div(a\pm b)\)を計算しなさい。
解答3
符号に注意して計算すると、以下のようになる。
3次式の展開公式
次の公式は、特に頻出のものなので、覚えておくと良い。
- \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
- \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
- \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
- \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
例題
\((2x+3y)(2x-3y)(4x^2-6xy+9y^2)(4x^2+6xy+9y^2)\)を展開しなさい。
解答
最初から掛け算をしていくと煩雑になるので、順番を変えてやると、以下のようになる。
\((2x+3y)(2x-3y)(4x^2-6xy+9y^2)(4x^2+6xy+9y^2)\)
\(=(2x+3y)\lbrace (2x)^2-2x\cdot3y+(3y)^2 \rbrace (2x-3y)\lbrace (2x)^2+2x\cdot3y+(3y)^2 \rbrace\)
\(=\lbrace (2x)^3+(3y)^3\rbrace \lbrace (2x)^3-(3y)^3\rbrace\)
\(=\lbrace (2x)^3\rbrace ^2-\lbrace (3y)^3\rbrace ^2\)
\(=\underline{64x^6-729y^6}\)
また、これ以外にも、展開の工夫として、計算の順番を変えたり、置き換えをしたり、という方法もある。
問題4
- (1) \((a+b-c-d)(a-b-c+d)\)
- (2) \((x+1)(x-1)(x-3)(x-5)\)
- (3) \((a+1)^3(a-1)^3\)
- (4) \((a+b+c)^2-(b+c-a)^2+(c+a-b)^2-(a+b-c)^2\)
- (5) \((a+b+c^3)+(a-b-c)^3-(a+b-c)^3-(a-b+c)^3\)
解答4
- (1) \((a+b-c-d)(a-b-c+d)\)
\(=(a-c+b-d)\lbrace a-c-(b-d)\rbrace\)
\(=(a-c)^2-(b-d)^2\)
\(=\underline{a^2-b^2+c^2-d^2-2ac+2bd}\)
\(\\\) - (2) \((x+1)(x-1)(x-3)(x-5)\)
\(=(x+1)(x-5)(x-1)(x-3)\)
\(=(x^2-4x-5)(x^2-4x+3)\)
\(=(x^2-4x)^2-2(x^2-4x)-15\)
\(=\underline{x^4-8x^3+14x^2+8x-15}\)
\(\\\) - (3) \((a+1)^3(a-1)^3\)
\(=\lbrace (a+1)(a-1)\rbrace^3\)
\(=(a^2-1)^3\)
\(=\underline{a^6-3a^4+3a^2-1}\)
\(\\\) - (4) \((a+b+c)^2-(b+c-a)^2+(c+a-b)^2-(a+b-c)^2\)
\(=(a+b+c)^2-(a+b-c)^2+(c+a-b)^2-(b+c-a)^2\)
\(=(a+b+c+a+b-c)\lbrace a+b+c-(a+b-c)\rbrace\)
\(+(c+a-b+b+c-a)\lbrace c+a-b-(b+c-a)\rbrace\)
\(=(2a+2b)\cdot 2c+2c\cdot(2a-2b)\)
\(=\underline{8ac}\)
\(\\\) - (5) \((a+b+c^3)+(a-b-c)^3-(a+b-c)^3-(a-b+c)^3\)
\(=(a+b+c)^3-(a+b-c)^3+(a-b-c)^3-(a-b+c)^3\)
\(=(a+b+c-a-b+c)\lbrace (a+b+c)^2+(a+b+c)(a+b-c)+(a+b-c)^2\rbrace\)
\(+(a-b-c-a+b-c)\lbrace (a-b-c)^2+(a-b-c)(a-b+c)+(a-b+c)^2\rbrace\)
\(=2c\cdot(3a^2+3b^2+c^2+6ab)+(-2c)\cdot(3a^2+3b^2+c^2-6ab)\)
\(=\underline{24abc}\)
