多項式の乗法[展開の工夫4]〜高校数学問題演習編-その13〜

問題

次の式を展開せよ.

解説

• (1)　$(x+4)(x+1)(x-1)(x-4)$
  • 以下のように順序を入れ替えて計算すると,
    $(x+4)(x+1)(x-1)(x-4)=(x-4)(x+4)(x-1)(x+1)=(x^{2}-16)(x^{2}-1)$
    $=$$x^{4}-17x^{2}+16$
• (2)　$x(x+1)(x+2)(x+3)$
  • 以下のように順序を入れ替えて計算すると,
    $x(x+1)(x+2)(x+3)=x(x+3)(x+1)(x+2)=(x^{2}+3x)(x^{2}+3x+2)$より,
    $t=x^{2}+3x$と置換すると,
    $t(t+2)=t^{2}+2t$
  • $t$を戻して,
    $(x^{2}+3x)^{2}-2(x^{2}+3x)$
    $=$$x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x$
• (3)　$(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)$
  • 以下のように順序を入れ替えて計算すると,
    $(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)=(x+1)(x-4)(x-1)(x-2)=(x^{2}-3x-4)(x^{2}-3x+2)$より,
    $t=x^{2}-3x$と置換すると,
    $(t-4)(t+2)=t^{2}-2t-8$
  • $t$を戻して,
    $(x^{2}-3x)^{2}-2(x^{2}-3x+8)$
    $=$$x^{4}-6x^{3}+7x^{2}+6x-8$