問題
次の式を展開せよ.
解説
- (1) $(x^{2}+yz)(3yx+2x^{2})$
- 以下のように順序を入れ替えて計算すると,
$(x^{2}+yz)(3yx+2x^{2})=(x^{2}+yz)(2x^{2}+3yz)$
$=$$2x^{4}+5x^{2}yz+3y^{2}z^{2}$
- 以下のように順序を入れ替えて計算すると,
- (2) $(m^{2}-2m-1)^{2}$
- $(m^{2}-2m-1)^{2}=m^{4}+4m^{2}+1-4m^{3}+4m-2m^{2}$
$=$$m^{4}-4m^{3}+2m^{2}+4m+1$
- $(m^{2}-2m-1)^{2}=m^{4}+4m^{2}+1-4m^{3}+4m-2m^{2}$
- (3) $(x-y)^{2}(x+y)^{2}(x^{2}+y^{2})^{2}$
- 以下のように順序を入れ替えて計算すると,
$(x-y)^{2}(x+y)^{2}(x^{2}+y^{2})^{2}$
$=\{(x-y)(x+y)\}^{2}(x^{2}+y^{2})^{2}$
$=\{(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2})\}^{2}$
$=(x^{4}-y^{4})^{2}$
$=$$x^{8}-2x^{4}y^{4}+y^{8}$
- 以下のように順序を入れ替えて計算すると,
- (4) $(a+3)(a-2)(a^{2}-a+6)$
- $(a+3)(a-2)(a^{2}-a+6)=(a^{2}+a-6)(a^{2}-a+6)$より, $t=a-6$と置換すると,
$(a^{2}+t)(a^{2}-t)=(a^{4}-t^{2})$ - $t$を戻して,
$a^{4}-(a-6)^{2}=a^{4}-(a^{2}-12a+36)$
$=$$a^{4}-a^{2}+12a-36$
- $(a+3)(a-2)(a^{2}-a+6)=(a^{2}+a-6)(a^{2}-a+6)$より, $t=a-6$と置換すると,
- (5) $(4x-y+1)(3x+y-1)$
- $(4x-y+1)(3x+y-1)=\{4x-(y-1)\}\{3x+(y-1)\}$より, $t=y-1$と置換すると,
$(4x-t)(3x+t)=12x^{2}+xt-t^{2}$ - $t$を戻して,
$12x^{2}+x(y-1)-(y-1)^{2}$
$=$$12x^{2}+xy-y^{2}-x+2y-1$
- $(4x-y+1)(3x+y-1)=\{4x-(y-1)\}\{3x+(y-1)\}$より, $t=y-1$と置換すると,
- (6) $(a+b-c-d)(a-b-c+d)$
- $(a+b-c-d)(a-b-c+d)=\{(a-c)+(b-d)\}\{(a-c)-(b-d)\}$より, $s=a-c$, $t=b-d$と置換すると,
$(s+t)(s-t)=s^{2}-t^{2}$ - $s$と$t$を戻して,
$(a-c)^{2}-(b-d)^{2}$
$=$$a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}-ac+2bd$
- $(a+b-c-d)(a-b-c+d)=\{(a-c)+(b-d)\}\{(a-c)-(b-d)\}$より, $s=a-c$, $t=b-d$と置換すると,
