多項式の乗法[展開の工夫]〜高校数学問題演習編-その7〜

問題

次の式を展開せよ.

(1)　$(x+y+z)(x+y-z)$
- $x+y=A$と置換すると,
  $(x+y+z)(x+y-z)=(A+z)(A-z)=A^{2}-z^{2}$
  $A$を戻して,
  $x^{2}+2xy+y^{2}-z^{2}=$$x^{2}+y^{2}-z^{2}+2xy$
  *累乗を先に書くかは任意.(諸説あり)
(2)　$(x^{2}+2x-4)(x^{2}-2x-4)$
- $x^{2}-4=A$と置換すると,
  $(x^{2}+2x-4)(x^{2}-2x-4)=(A+2x)(A-2x)=A^{2}-4x^{2}$
  $A$を戻して,
  $x^{4}-8x^{2}+16-4x^{2}=$$x^{4}-12x^{2}+16$
(3)　$(a+2b)^{2}(a-2b)^{2}$
- 計算の順序を入れ替えて,
  $\{(a+2b)(a-2b)\}^{2}=(a^{2}-4b^{2})^{2}$
  $=$$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}$
(4)　$(3x-y)^{2}(3x+y)^{2}$
- 計算の順序を入れ替えて,
  $\{(3x-y)(3x+y)\}^{2}=(9x^{2}-y^{2})^{2}$
  $=$$81x^{4}-18x^{2}y^{2}+y^{4}$
(5)　$(x-2)(x+2)(x^{2}+4)$
- 乗法公式を2回用いると,
  $(x-2)(x+2)(x^{2}+4)=(x^{2}-4)(x^{2}+4)$
  $=$$x^{4}-16$
(6)　$(a^{2}+b^{2})(a-b)(a+b)$
- (5)同様, 乗法公式を2回用いると,
  $(a^{2}+b^{2})(a-b)(a+b)=(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2})$
  $=$$a^{4}-b^{4}$