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問題$a$ を正の定数とする. 不等式 $|x-2|<a$ を満たす整数 $x$ がちょうど 5 個存在するような $a$ の範囲を求めよ.解説不等式 $|x-2|<a$ の絶対値を外すと $2-a<x<2+a$より, この開区間で整数の個...

問題$\sqrt{12-\sqrt{108}}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とする.解説 (1) $a,\ b,\ b^{3}+\dfrac{1}{b^{3}}$ の値をそれぞれ求めよ. $\sqrt{12-\sqrt...

問題$a$ を定数とする. 次の (I)～(III) の連立不等式のうち, 解が $x=2$ となるような $a$ の値が存在するものを選べ. また, そのときの $a$ の値を求めよ.$\text{(I)}\ \begin{cases}6...

問題(1) 方程式 $|x-3|+|2x-3|=9$ を解け.$x=\dfrac{3}{2},\,3$ で場合分けをすると, 1. $x<\dfrac{3}{2}$のとき$(3-x)+(3-2x)=9 \Rightarrow 6-3x=9...

問題$x+y+z=3,\ xy+yz+zx=-5$ のとき, $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ の値を求めよ.解説$(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)$ より,$x^{2}+y^{2}+...

問題次の式を因数分解せよ.解説 (1) $(x+y+2)(x+y-3)+4$ $t=x+y$ とおくと $(t+2)(t-3)+4=t^2-t-2=(t-2)(t+1)$.\\よって $(x+y-2)(x+y+1)$. (2) $12...

問題次の式を展開せよ.解説 (1) $(3x+1)(x+2)(3x-1)(x-2)$ $(3x+1)(3x-1)=9x^2-1,\ (x+2)(x-2)=x^2-4$ より,$(9x^2-1)(x^2-4)=$$9x^4-37x^2+4...

問題$\sqrt{x^{2}-10x+25}+\sqrt{x^{2}+4x+4}$ を $x$ の多項式で表せ.解説$\sqrt{(x-5)^2}=|x-5|,\ \sqrt{(x+2)^2}=|x+2|$ より,$|x-5|+|x+2|=...

問題次の方程式, 不等式を解け.解説 (1) $|2x|+|x-2|=6$ 区間で場合分けをすると, 1. $x<0$のとき$-2x+(2-x)=6\ \Rightarrow\ -3x+2=6\ \Rightarrow\ x=-\df...

問題次の方程式, 不等式を解け.解説 (1) $|x+1|=3x$ 右辺が$3x$であるから, $x<0$ では右辺は負となり成り立たないので, $x\ge0$.このとき $|x+1|=x+1$ より, $x+1=3x\ \Righta...