問題
$a$ を正の定数とする. 不等式 $|x-2|<a$ を満たす整数 $x$ がちょうど 5 個存在するような $a$ の範囲を求めよ.
解説
不等式 $|x-2|<a$ の絶対値を外すと $2-a<x<2+a$より, この開区間で整数の個数を調べると,
\begin{array}{c|c}
a\text{ の範囲} & \text{含まれる整数の個数} \\ \hline
0<a\le1 & 1\ (\{2\})\\
1<a\le2 & 3\ (\{1,2,3\})\\
2<a\le3 & 5\ (\{0,1,2,3,4\})\\
a>3 & 7\text{ 以上}
\end{array}
より, 整数がちょうど 5 個含まれるのは $2<a\le3$となります.
