問題
$\sqrt{12-\sqrt{108}}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とする.
解説
- (1) $a,\ b,\ b^{3}+\dfrac{1}{b^{3}}$ の値をそれぞれ求めよ.
- $\sqrt{12-\sqrt{108}}=\sqrt{12-6\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{9}-\sqrt{3})^{2}}=3-\sqrt{3}$ より, 整数部分 $a=1$, 小数部分 $b=2-\sqrt{3}$ である.
- ここで, $\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$ より,
$b+\dfrac{1}{b}=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4$\\
$b^{3}+\dfrac{1}{b^{3}}=\bigg(b+\dfrac{1}{b}\bigg)^{3}-3\bigg(b+\dfrac{1}{b}\bigg)
=4^{3}-3\times4=52$ - 以上から, $a=1,\ b=2-\sqrt{3},\ b^{3}+\dfrac{1}{b^{3}}=52$.
- (2) $x=\dfrac{1}{b-a+\sqrt{2}},\ y=\dfrac{1}{3a-b+\sqrt{2}}$ のとき, $\dfrac{1}{x+y}$ の値を求めよ.
- $b-a+\sqrt{2}=\sqrt{2}+1-\sqrt{3},\quad 3a-b+\sqrt{2}=\sqrt{2}+1+\sqrt{3}$ より,
$u=\sqrt{2}+1,\ v=\sqrt{3}$ とおくと,
$x+y=\dfrac{1}{u-v}+\dfrac{1}{u+v}=\dfrac{2u}{u^{2}-v^{2}} \ \Rightarrow\ \dfrac{1}{x+y}=\dfrac{u^{2}-v^{2}}{2u}$ - ここで, $u^{2}=(1+\sqrt{2})^{2}=3+2\sqrt{2},\ v^{2}=3$なので,
$\dfrac{1}{x+y}=\dfrac{2\sqrt{2}}{2(1+\sqrt{2})}=\dfrac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=2-\sqrt{2}$ - よって $\dfrac{1}{x+y}=2-\sqrt{2}$となります.
- $b-a+\sqrt{2}=\sqrt{2}+1-\sqrt{3},\quad 3a-b+\sqrt{2}=\sqrt{2}+1+\sqrt{3}$ より,
