【高校数学I】数と式を完全攻略～基本から応用までを徹底解説します！～演習問題-4

問題

(1) 方程式 $|x-3|+|2x-3|=9$ を解け.

$x=\dfrac{3}{2},\,3$ で場合分けをすると,

• 1. $x<\dfrac{3}{2}$のとき
  $(3-x)+(3-2x)=9 \Rightarrow 6-3x=9 \Rightarrow x=-1$より適している.
• 2. $\dfrac{3}{2}\le x<3$のとき
  $(3-x)+(2x-3)=9 \Rightarrow x=9$より不適.
• 3. $x\ge3$のとき
  $(x-3)+(2x-3)=9 \Rightarrow 3x-6=9 \Rightarrow x=5$より適している.

以上より $x=-1,\ 5$.

(2) 以下の連立不等式を解け.

$\begin{cases}
4-3x<2x+1\le x+6\\
2\sqrt{(x-3)^{2}}\ge x-1
\end{cases}$

解説

• 1. $4-3x<2x+1\le x+6 \Rightarrow \dfrac{3}{5}<x\le5$
• 2. $2|x-3|\ge x-1$
  • i. $x<3$のとき
    $2(3-x)\ge x-1 \Rightarrow x\le \dfrac{7}{3}$
  • ii. $x\ge3$のとき
    $2(x-3)\ge x-1 \Rightarrow x\ge5$

以上から解の範囲を考えると, $\dfrac{3}{5}<x\le\dfrac{7}{3}\ \text{または}\ x=5$となります.

(3) 以下の連立不等式を解け.

$\begin{cases}
(\sqrt{3}-2)x<-1\\
|1-x|\ge3
\end{cases}$

解説

• 1. $\sqrt{3}-2<0$ より，$(\sqrt{3}-2)x<-1 \Rightarrow x> \dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}(<4)$
• 2. $|1-x|\ge3 \Rightarrow x\le-2\ \text{または}\ x\ge4$

以上から解の範囲を考えると, $x\ge4$となります.