問題
次の方程式, 不等式を解け.
解説
- (1) $|x+1|=3x$
- 右辺が$3x$であるから, $x<0$ では右辺は負となり成り立たないので, $x\ge0$.
このとき $|x+1|=x+1$ より, $x+1=3x\ \Rightarrow\ 1=2x\ \Rightarrow\ $$x=\dfrac12$.
- 右辺が$3x$であるから, $x<0$ では右辺は負となり成り立たないので, $x\ge0$.
- (2) $|x-3|\le -2x$
- 左辺は$\ge0$ なので, 右辺は $-2x\ge0\ (\Leftrightarrow x\le0)$ でなければならない.
$x\le0$ では $|x-3|=3-x$ だから, $3-x\le-2x\ \Rightarrow\ 3\le -x\ \Rightarrow\ $$x\le-3$.
- 左辺は$\ge0$ なので, 右辺は $-2x\ge0\ (\Leftrightarrow x\le0)$ でなければならない.
- (3) $|2x-1|<3x+2$
- 左辺$\ge0$より, 右辺は $3x+2>0\ \bigg(\Leftrightarrow x>-\dfrac23\bigg)$ が必要.
- 1. $x\ge\dfrac12$のとき
$|2x-1|=2x-1$ で, $2x-1<3x+2\ \Rightarrow\ x>-3$ は常に真. - 2. $-\dfrac23<x<\dfrac12$のとき
$|2x-1|=1-2x$ で, $1-2x<3x+2\ \Rightarrow\ x>-\dfrac15$.
- 1. $x\ge\dfrac12$のとき
- 以上より \ $x>-\dfrac15$.
- 左辺$\ge0$より, 右辺は $3x+2>0\ \bigg(\Leftrightarrow x>-\dfrac23\bigg)$ が必要.
