問題
$\sqrt{11+4\sqrt{7}},\ \sqrt{10-\sqrt{84}},\ \sqrt{16-3\sqrt{28}}$ のうち, 小数部分が $\sqrt{7}$ の小数部分と等しいものはどれか.
解説
2重根号を外して, それぞれから $\sqrt{7}$ を引いた差が整数かどうかを確かめる. 差が整数なら小数部分は等しい.
- $\sqrt{11+4\sqrt{7}}
=\sqrt{(\sqrt{7}+2)^{2}}
=\sqrt{7}+2$
より, $(\sqrt{7}+2)-\sqrt{7}=2$ は整数. - $\sqrt{10-\sqrt{84}}
=\sqrt{10-2\sqrt{21}}
=\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^{2}}
=\sqrt{7}-\sqrt{3}$
より, $(\sqrt{7}-\sqrt{3})-\sqrt{7}=-\sqrt{3}$ は整数ではない. - $\sqrt{16-3\sqrt{28}}
=\sqrt{16-6\sqrt{7}}
=\sqrt{(3-\sqrt{7})^{2}}
=3-\sqrt{7}$
より, $(3-\sqrt{7})-\sqrt{7}=3-2\sqrt{7}$ は整数ではない.
従って, 小数部分が $\sqrt{7}$ の小数部分と等しいものは, $\sqrt{11+4\sqrt{7}}$.
