例題
$\sqrt{13+4\sqrt{10}},\ \sqrt{6-\sqrt{20}},\ \sqrt{14-3\sqrt{20}}$ のうち, 小数部分が $\sqrt{5}$ の小数部分と等しいものはどれか.
指針
2重根号を外して考える. 小数部分が $\sqrt{5}$ の小数部分と等しくなる条件は, その数と $\sqrt{5}$ との差が整数になることである.
解答
- $\sqrt{13+4\sqrt{10}}
=\sqrt{13+2\sqrt{40}}
=\sqrt{(\sqrt{8}+\sqrt{5})^{2}}
=\sqrt{8}+\sqrt{5}
=2\sqrt{2}+\sqrt{5}$
より, $2\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{5}=2\sqrt{2}$ は整数ではない. - $\sqrt{6-\sqrt{20}}
=\sqrt{6-2\sqrt{5}}
=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{1})^{2}}
=\sqrt{5}-1$
より, $\sqrt{5}-1-\sqrt{5}=-1$ は整数. - $\sqrt{14-3\sqrt{20}}
=\sqrt{14-6\sqrt{5}}
=\sqrt{(\sqrt{9}-\sqrt{5})^{2}}
=3-\sqrt{5}$
より, $3-\sqrt{5}-\sqrt{5}=3-2\sqrt{5}$ は整数ではない.
従って, 小数部分が $\sqrt{5}$ の小数部分と等しいものは, $\sqrt{6-\sqrt{20}}$.
