例題
$\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ の分母を有理化せよ.
指針
$(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{3})^{2}=(\sqrt{5})^{2}$であることを利用して有理化する.
解答
$\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}$
$=\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5})}$
$=\dfrac{(\sqrt{2}-\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}$
$=-\dfrac{4-2\sqrt{10}}{2\sqrt{6}}$
$=\dfrac{(\sqrt{10}-2)\sqrt{6}}{6}$
$=$$\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{3}$
