例題
$\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とする. $a$ と $b$ の値を求めよ.
指針
まず, 分母を有理化して整数部分を決める. 小数部分は次の関係式から求める.$(x\text{の小数部分}) =x-(x\text{の整数部分})$.
解答
$\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}
=\dfrac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}
=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3}
=2+\sqrt{3}$,
$1<\sqrt{3}<2$であるから, $3<2+\sqrt{3}<4$.
したがって整数部分は $a=$$3$,
また, 小数部分は, $b=(2+\sqrt{3})-a=(2+\sqrt{3})-3=$$\sqrt{3}-1$.
